Pregunta de rango de álgebra lineal

Question

Supongamos que $A$ es una matriz cuadrada de orden $n \geq 4$ y $a_{ij} = i+j$ representa la entrada en la fila $i$ y la columna $j$ . ¿Cuál es el rango de $A$ ? Entonces tenemos por el teorema de rango-nulidad,

$$n = \text{rank}(A) + \text{nullity}(A)$$

Por ejemplo, para $n=4$ tenemos $$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix}$$

Así que parece que cada fila comparte elementos con las otras filas. ¿Podemos utilizar esto para encontrar la nulidad de $A$ y por lo tanto el rango de $A$ ?

Answer 1

Restando la penúltima fila de la última fila, la antepenúltima fila de la penúltima fila, la preantepenúltima fila de la antepenúltima fila, y así sucesivamente hasta restar la primera fila de la segunda fila, se ve que nuestra matriz es equivalente en filas a $$\left(\begin{array}{cccc} 2&3&\cdots&n+1\\ 1&1&\cdots &1\\ 1&1&\cdots &1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{array}\right).$$ Restando la segunda fila de todas las demás filas obtenemos $$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots &n\\ 1 & 1 & \cdots &1\\ 0 & 0 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right).$$ Esta matriz tiene rango $2$ (la primera y la segunda fila son linealmente independientes), y la nulidad $n-2$ . Como esta matriz es equivalente en filas a nuestra matriz original, se deduce que la matriz original también tiene rango $2$ y la nulidad $n-2$ .

Answer 2

El rango es 2. Resta la primera fila de todas las demás filas; esas filas pasan a ser (1 1 1 ... 1), (2 2 2 ... 2), etc. Ahora resta las filas 2 y más abajo usando la fila 2. Te queda una matriz cuya primera fila es (2 3 4 ... n+1) y la segunda fila es (1 1 1 ... 1) y ceros en todas las demás. Las dos primeras filas son linealmente independientes y por lo tanto el rango es 2.

Answer 3

Resta la primera fila de todas las demás filas. Obtendrás una matriz $B=(b_{i,j})$ avec $$b_{i,j}=\left\{ \begin{array}{cc} j+1 & i=1\\ i & i>1\end{array} \right.$$

¿Puede continuar desde aquí?

Answer 4

Escribamos las filas de un $n\times n$ matriz. ¿Cuál es la primera fila? $$r_1 = [1\quad 2\quad 3\quad \cdots \quad n+1]$$ ¿Cuál es la segunda fila? Es una fila con cada entrada $+1$ $$r_2 = [1+1\quad 1+2\quad 1+3\quad \cdots \quad 1+(n+1)]$$ Lo mismo para la tercera fila. Ahora es evidente que la fila $i$ es la combinación lineal $$1r_1 + (i-1)[1\quad 1\quad 1\quad \cdots \quad 1]$$ Ahora para demostrar que la matriz tiene rango $2,$ es suficiente para demostrar que $r_1$ y $[1\quad \dots \quad 1]$ son linealmente independientes. Una forma es comprobar el rango de la matriz $$\pmatrix{1& 1& 1& \cdots & 1\\1& 2& 3& \cdots & n+1}$$ que es $2$ por eliminación trivial.