Por fin muchos cocientes de género g de superficie compacta de Riemann

Question

Escuché que hay un semi-famoso teorema de mi asesor, pero no sabía el nombre y yo era incapaz de encontrar en línea. ¿Alguien sabe de los siguientes?

Deje $S$ ser una compacta superficie de Riemann. Luego de un género $g$, hasta isomorfismo (holomorphism en nuestro caso), hay sólo un número finito compacto de las superficies de Riemann $Y$ de género $g$ que son imágenes de surjective holomorphisms $\varphi : S \twoheadrightarrow Y$

Alguien ha oído hablar de un resultado? Puede ser cierto sólo por género, 2 y mayores, no tengo idea de en este.

Simplemente sería bueno mencionar en una charla me estoy dando sobre el Teorema de Hurwitz.

Answer 1

Esto puede ser visto como una aplicación de la Parshin-Arakelov teorema de finitud: Hay sólo un número finito (hasta un biholomorphic isomorfismo) holomorphic familias de superficies de Riemann del tipo fijo de $(g,n)$ (donde $g$ es el género y $n$ es el número de punciones) fija con base compactas $B$. (Ver aquí y aquí para algunas referencias.)

Considere ahora el caso especial cuando $B$ corresponde a la superficie de Riemann $S$. El teorema de finitud, a continuación, se traduce en la afirmación de que hay sólo un número finito no constante holomorphic mapas de $B\to M_{g,n}$ cuando el objetivo es el espacio de moduli de superficies de Riemann de tipo $(g,n)$ (estoy simplificando un poco aquí, usted debe tratar a la meta como un orbifold/pila). Tenga en cuenta que $M_{g,1}$ es naturalmente isomorfo a la curva universal $C_g\to M_g$. (Aquí es donde usted necesita $g\ge 2$.) Supongamos ahora que hay infinitamente muchas género $g$ de las superficies de Riemann $Y_g$ con no constante holomorphic mapas de $B\to Y_g$. Identificar las $Y_g$'s con adecuado fibras de $C_g$. Entonces usted obtener infinitamente muchos no constante holomorphic mapas de $B\to M_{g,1}$, que contradice el teorema de finitud. En la configuración del género de la $Y$ no exceda del género de la $S$ (esto puede ser derivadas por ejemplo de la de Riemann-Hurwitz fórmula). qed

Como un apéndice, aquí es más fácil la prueba de los más fáciles de resultado que dadas dos compacto de las superficies de Riemann $X, Y$ de género $\ge 2$, hay sólo un número finito no constante holomorphic mapas de $f: X\to Y$. Esta prueba es un modelo de las pruebas de la más difícil teorema de finitud arriba. Por el lema de Schwarz, cada mapa $f: X\to Y$ 1-Lipschitz con respecto a la uniformizing hiperbólico métricas en $X$$Y$. (Este es un lugar donde el género $\ge 2$ es utilizado). Por Arzela-Ascoli teorema, cualquier secuencia de holomorphic mapas de $f_n: X\to Y$ subconverge a un no constante holomorphic mapa de $f: X\to Y$. Por lo tanto, después de pasar por una larga, para un gran $n$ los mapas de $f_n$ son homotópica a $f$. Pero, a continuación, $f_n=f$ grandes $n$. (Utilice el hecho de que un holomorphic 1-forma está determinada únicamente por sus períodos; aquí de nuevo tenemos el hecho de que el género es $\ge 2$.)