Supongamos que tenemos una muestra aleatoria $X_1$, $X_2$ a partir de la Beta($\theta$, $1$) distribución y queremos probar $H_{\theta} :\theta \leq 1$ contra $H_1:\theta > 1$. La siguiente prueba de la emisión: "Rechazar $H_0$ si y sólo si $3X_1 \leq 4X_2$." Cómo mostrar que la función de potencia de la prueba es dada por $$\beta(\theta) = 1-\frac12\left(\frac34\right)^\theta$$
Yo :
Esto no está relacionado con la pregunta, pero yo sé cómo resolver si es sólo una observación: vamos a decir $X_1$ ~ Beta($\theta$, $1$) y la condición es $X_1 > \frac{1}{2}$ mismo $H_0$$H_1$. Para obtener la función de potencia que tenemos que resolver para :
$$\beta(\theta) = P_\theta(X > 1/2) = \int_{1/2}^1 \frac{\Gamma(\theta + 1)}{\Gamma(\theta)\Gamma(1)}x^{\theta-1}(1-x)^{1-1}\mathrm dx$$
No sé cómo ir sobre el problema original que he mencionado en la pregunta.
