¿Cómo calcular el límite$\lim_{x\to1}\lfloor\sin^{-1}(x)\rfloor$?

Question

La pregunta es sobre encontrar$$\lim_{x\to1} f(x)$ $ donde$$f(x) = \lfloor\sin^{-1}(x)\rfloor$ $

La función toma el valor$1$ en$x = 1$ pero al acercarse a$1$ desde el lado izquierdo, toma el valor$0$ en todos los puntos.

La función no está definida en$x>1$, por lo que no existe el límite correcto.

El libro menciona a$1$ como la respuesta como$f(1)=1$ pero no entiendo por qué.

¿Cuál es el significado de un límite?

Answer 1

Tenga en cuenta que$\arcsin(1) = \frac\pi2$, no$\arcsin(1) = 1$; esto significa en particular que para los valores$x$ a la izquierda inmediata de$1$, también$\arcsin(x) > 1$. Por lo tanto, la función$\mathrm{floor}(\arcsin(x))$ es continua en$1$.

Sin embargo, la respuesta en el libro es mala si no menciona el hecho de que la función es continua cerca de$x$ - valor 1 y solo da la respuesta.

Answer 2

Usted es correcto, el límite solo se define como:

PS

y como para$$\lim_{x\to 1^-} \bigl\lfloor \arcsin (x)\bigr\rfloor$ tenemos$x\to 1^-$, tenemos que el límite es$\arcsin (x)\to \frac{\pi}2 \gt1$.

Answer 3

A la izquierda, $\lfloor\arcsin(1-\epsilon)\rfloor=\lfloor\frac\pi2-\delta\rfloor=1$. La función es, de hecho, indefinida a la derecha, pero esto no importa, ya que un límite se computará solo en el dominio. Así,

PS