Relación entre Cyclotomic Cuadrática y campos

Question

Desde $\varphi(p)=p-1$ es incluso el p-esima cyclotomic campo contiene algunos cuadrática campo. Hecke dice que, de hecho, cada cuadrática campo contiene algunos cyclotomic campo.

¿Qué es este teorema se llama y cómo resultó?

Answer 1

Este es un caso especial de la Kronecker-Weber teorema, que dice que cualquier abelian extensión de $\mathbb{Q}$ está contenida en el interior de algunos cyclotomic campo; cualquier cuadrática extensión de $\mathbb{Q}$ es automáticamente abelian. No creo que el caso especial del teorema para cuadrática campos tiene un nombre distinto.

Sin embargo, uno no necesita toda la potencia de este (muy avanzado) teorema. Los dos pasos siguientes se utilizan en el ejercicio 8 del Capítulo 2 de Marcus Número de Campos para demostrar, precisamente, el caso de la cuadrática campos:

1. Mostrar que $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ contiene $\sqrt{p}$ si $p\equiv 1\bmod 4$ $\sqrt{-p}$ si $p\equiv 3\bmod 4$. (Nota: en Este paso se sigue de los resultados obtenidos en el capítulo anterior en Marcus sobre el discriminante de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ $$\prod_{1\leq r<s\leq p-1}(\zeta_p^r-\zeta_p^s)^2=\left(\prod_{1\leq r<s\leq p-1}(\zeta_p^r-\zeta_p^s)\right)^2=\pm p^{p-2}$$
2. Mostrar que $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ contiene $\sqrt{2}$.

Obviamente $\mathbb{Q}(i)$ contiene $\sqrt{-1}$, por lo que para obtener un cyclotomic campo que contiene $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$, sólo tenemos que tomar la compositum de la cyclotomic campos correspondientes a cada una de las $m$'s factores primos (tenga en cuenta que podemos suponer $m$ es squarefree).

Answer 2

Este resultado de Gauss es muy bien conocido en la teoría algebraica de números. La obvia búsquedas en la web se pueden localizar fácilmente las pruebas y mucho más, por ejemplo, he aquí una prueba de Weintraub: Teoría de Galois