Encuentre el número mínimo de sumas de$3$ de$5$ cuya desaparición implica que los cinco sean cero

Question

Problema:

deje $a,b,c,d,e$ ser números reales, ahora hay $\left(\binom{5}{3}=10\right)$ números $$a+b+c,a+b+d,a+b+e,a+c+d,a+c+e,a+d+e,b+c+d,b+c+e,b+d+e,c+d+e$$

Pregunta1:($\textbf{Jérémy Blanc has solve it}$)

Encontrar el mínimo de k tal que si $k$ estos $10$ números de $0$, $$a=b=c=d=e=0$$

Pregunta 2:

deje $n$ es dar positivos números enteros,Assmue que $x_{1},x_{2},\cdots,x_{2n+1}$ ser números reales,ahora hay $\binom{2n+1}{n+1}$ números $$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+x_{n+1},x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+x_{n+2},\cdots,x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{2n+1}$$ Encuentra el mínimo $k$ que si $k$ estos $\binom{2n+1}{n+1}$ números de $0$, $$x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{2n+1}=0$$

El uso de Jeremy ieda:

si $n=3$,entonces vamos a $a=-3,b=c=d=e=f=g=1$,$\binom{6}{3}=20$, por lo que supongo que $k\ge 21$?

En general，así que supongo que $$k\ge \binom{2n}{2}+1$$ tal $$x_{1}=n,x_{2}=x_{3}=\cdots=x_{2n+1}=-1$$ Supongo que es justo? Entonces, ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Respuesta: $k=7$

$(i)$ Si $a=-2$$b=c=d=e=1$, $\binom{4}{2}=6$ de los números son cero (todas las cantidades que implican $a$). Por lo tanto, $k\ge 7$.

$(ii)$ A fin de demostrar que $k\le 7$, podemos suponer que al menos $7$ sumas son iguales a cero, y demostrar que esto implica que $a=b=c=d=e=0$.

En su $7$ sumas que han $21$ letras, cada una perteneciente a $\{a,b,c,d,e\}$. Por lo tanto, no es una carta, en la que aparecen cinco veces (al menos), debido a que $5\times 4=20<21$. Podemos suponer que $a$ aparece cinco veces. Hay exactamente seis sumas de dinero que involucran $a$, y cinco de ellos son cero. Hasta permutación, podemos asumir que $$0=a+b+c=a+b+d=a+b+e=a+c+d=a+c+e$$ (la única suma con $a$ que no es:$a+d+e$). Nos encontramos con $b=c=d=e$$a=-2b$. Desde $7$ sumas son iguales a cero, hay uno de la suma, que no implican $a$, pero sólo $b,c,d,e$, por lo tanto es igual a $0=3b$. Por lo que hemos encontrado $a=b=c=d=e=0$.