Demostrar que $x^n(y-z) + y^n(z-x) + z^n(x-y)$ es divisible por $(y-z)(z-x)(x-y)$

Question

Tengo que demostrar que $$P(x, y, z) = x^n(y-z) + y^n(z-x) + z^n(x-y)$$

siempre es divisible por $Q(x, y, z) = (y-z)(z-x)(x-y)$ para $n$ mayor que $1$ y no tengo idea de cómo proceder.

-> Intentaría demostrar que tienen raíces comunes, pero ni siquiera sé qué significa "ser una raíz" en un problema como este, así que intenté factorizarlo y me di cuenta de que este podría no ser el enfoque correcto. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Idea básica: si dejas que $Q(x,y,z) = P(x,y,z+ x)$, entonces puedes verificar directamente que $Q(x,y,0) = 0$, lo que significa que $z$ factoriza a $Q(x,y,z)$. En otras palabras, $Q(x,y,z) = zR(x,y,z)$ para algún polinomio $R(x,y,z) . Por lo tanto, $P(x,y,z) = Q(x,y,z-x) = (z - x)R(x,y,z-x)$. Así que $P(x,y,z)$ tiene a $z- x$ como factor.

Puedes seguir los mismos pasos para obtener los otros dos factores.

Answer 2

Tenga en cuenta que basta con mostrar que $P(x,y,z)$ es divisible por cada uno de los tres factores $(x-y)$, $(y-z)$ y $(z-x)$. Sin embargo, justificar esto adecuadamente requiere la teoría de Dominios de Factorización Única, lo cual posiblemente está fuera del alcance de la pregunta.

Un camino alternativo es proceder por factorización directa. Esto comienza de la siguiente manera: $$ \begin{align*} Q(x,y,z) & = x^n(y-z) + y^n(z-x) + z^n(x-y) \\ & = xy(x^{n-1}-y^{n-1}) + z(y^n-x^n)+z^n(x-y) \\ & = (x-y)(xy(x^{n-2}+yx^{n-3}+\ldots+y^{n-2}) -z(y^{n-1}+xy^{n-2}+\ldots+x^{n-1})+z^n)\;. \\ \end{align*} $$ El siguiente paso es factorizar explícitamente $(xy(x^{n-2}+yx^{n-3}+\ldots+y^{n-2}) -z(y^{n-1}+xy^{n-2}+\ldots+x^{n-1})+z^n$ como $(y-z)R(x,y,z)$, y así sucesivamente. Hacer esto parece ser un ejercicio muy desordenado, pero termina con la siguiente forma agradable: $$ Q(x,y,z) = -(x-y)(y-z)(z-x)\left(\sum_{i+j+k=n-2}x^iy^jz^k\right)\;. $$ Verificar que esto se expande a $Q(x,y,z)$ probablemente sea más elegante que la factorización directa anterior, pero requiere cierto cuidado.

Answer 3

Sugerencia: Puedes pensar en $P(x,y,z)$ como un polinomio en $y$, luego observa que $P(x,z,z)=0$. Esto significa que $(y-z)$ divide a $P(x,y,z)$, como lo hemos hecho con polinomios en una variable. De manera similar, piensa en $P(y,y,z)$ y $P(z,y,z).

Answer 4

Si al menos 2 de los $x,y,z$ son iguales entonces es obvio. De lo contrario, puedes considerar $P$ como un polinomio de $x$ primero y ver que para $x=y,z$ obtenemos $P=0$, por lo que $$P=(x-y)(x-z)Q (1)$$, donde $Q$ es un polinomio de $x$ con $z,y$ como parámetros. Ahora considera $P$ como un polinomio de $z$. Para $z=y$, obtenemos nuevamente $P=0$, El último debido a $(1)$ lleva al hecho de que $Q(y)=0$, y así $Q=(z-y)R$, si consideras nuevamente $Q$ como un polinomio ahora de $z$. Esto concluye la prueba.