Reclamo: La inclusión $R\text{-mod}\hookrightarrow R\text{-Mod}$ preserva los núcleos.
Una vez que esto se sabe, se deduce que un núcleo en $R\text{-mod}$, si es que existe, debe ser isomorfo al núcleo correspondiente en $R\text{-Mod}$; en particular, este último es finitely generado.
Especializada esta observación a las proyecciones de $\pi_I: R\to R/I$ por un ideal $I$$R$, se deduce que el $\ker(\pi_I)$ existe en $R\text{-mod}$ si y sólo si $I$ es finitely generado. Dejando $I$ variar, podemos ver que $R\text{-mod}$ es abelian sólo si todos los ideales de a $R$ son finitely generado.
Prueba de reclamación: Supongamos $f: M\to N$ es una de morfismos de finitely generadas $R$-módulos de e $k: K\to M$ es un núcleo de $f$$R\text{-mod}$. Además, vamos a $g: T\to M$ otro $R$-módulo homomorphism con $fg=0$ $T$ arbitrarias. Luego, por supuesto, para cualquier finitely generado submódulo $\iota: S\subseteq T$ compuesto $g\iota$ factores de forma exclusiva a través de $k$ a través de algunos de los $t_S: S\to K$. Desde cualquier módulo es la unión de sus finitely generado submódulos, se deduce que la factorización de $g$ a través de $k$ es único, si es que existe. A su vez, la aplicación de esta singularidad, además, se desprende que para cualquier otro $\iota^{\prime}: S^{\prime}\subseteq T$, el factorizations $S\to K$ $S^{\prime}\to K$ $\iota$ resp. $\iota^{\prime}$ está de acuerdo en $S\cap S^{\prime}$. Por lo tanto, todos los $t_S$ pegamento para una factorización de la $t: T\to K$ $g$ a través de $k$, lo que demuestra que el $k$ es un núcleo en $R\text{-Mod}$.
Addendum (independiente del resto): Si te gusta más técnicamente, puede crear un paquete con el mismo argumento de la siguiente manera: Considere cualquier categoría ${\mathscr C}$ (generalizando $R\text{-Mod}$), cualquier diagrama de $D: I\to {\mathscr C}$ más de algún índice de la categoría $I$ (generalizando $\bullet\rightrightarrows\bullet$), y cualquier cono $c: D\to X$ más, es decir, usted tiene $X\in{\mathscr C}$ cualquier $i\in I$ usted tiene un morfismos $c_i: X\to D(i)$ tal que $$X\xrightarrow{c_i} D(i)\xrightarrow{D(\alpha)} D(j) = X\xrightarrow{c_j} D(j)$$ for any arrow $\alfa$ in $I$. In other words, $X\a D$ is a candidate for a limit-cone for $I$, y usted podría preguntar:
Pregunta: Que los objetos de ${\mathscr C}$, de hecho, 'ver' $X$ como el límite de $D$?
Formalmente, esto significa que para algunos $Y\in{\mathscr C}$, puede verificar si la natural de morfismos en $\textsf{Set}$,
$${\mathscr C}(Y,X)\to {\lim}_I{\mathscr C}(Y,D(i))$$
es un isomorfismo. Llame a la respectiva subcategoría ${\mathscr C}_D$ a falta de un mejor nombre. Ahora tienes dos hechos:
- Desde inversa límites de viaje, ${\mathscr C}_D$ es cerrado bajo colimits en ${\mathscr C}$.
- Si $X$ y el codominio de $I$ están contenidas en algunos subcategoría ${\mathscr D}$ que $X\to D$ es de hecho un límite inversa, a continuación,${\mathscr D}\subseteq{\mathscr C}_D$.
La combinación de ambos, se deduce que el ${\mathscr C}_D={\mathscr C}$ si hay un completo subcategoría ${\mathscr D}\subset{\mathscr C}$ contiene $X$ y el codominio de $D$, por lo que $X\to D$ es un límite, y de tal manera que cualquier objeto de ${\mathscr C}$ es un colimit de un diagrama en ${\mathscr D}$.
Esto se aplica a $R\text{-mod}\subset R\text{-Mod}$ y la muestra de que el último de la incrustación de conserva todos los límites, en particular los núcleos.
