La forma cerrada para $n$th derivada de la exponencial de a $f$

Question

¿Cuál es la forma cerrada para:

$$\frac{\partial^n}{\partial x^n}\exp(f(x))=\exp(f(x))\cdot[????]$$

Answer 1

Ver los artículos de Wikipedia titulado Exponencial de la fórmula y Faà di Bruno de la fórmula. Ambos implican las enumeraciones de las particiones del conjunto.

Es más fácil expresar con $\dfrac{\partial^n}{\partial x_1\,\partial x_2\,\cdots\,\partial x_n}$$\dfrac{\partial^n}{\partial x^n}$, pero después de hacer eso, simplemente declaran $x_1,\ldots,x_n$ a ser todos de la misma variable y, a continuación, colocar los subíndices y recoger los términos semejantes. Así, por ejemplo: \begin{align} & \frac{\partial^3}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} e^{f(x)} \\[10pt] & = e^{f(x)}\left(\frac{\partial^3 f(x)}{\partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} \right. \\[10pt] & {} + \underbrace{\frac{\partial f(x)}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_2\,\partial x_3}} + \underbrace{\frac{\partial f(x)}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_2\,\partial x_3}} + \underbrace{\frac{\partial f(x)}{\partial x_3} \cdot \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_1\,\partial x_2}} \\[10pt] & \left.{} + \frac{\partial f(x)}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial f(x)}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial f(x)}{\partial x_3} \right). \end{align}

Usted obtiene un término para cada partición del conjunto de las tres variables. Para la cuarta derivada, hay uno para cada una de las $15$ particiones de un conjunto de cuatro variables, etc.

En consecuencia $$ \frac{\partial^3 f(x)}{\partial x^3} = e^{f(x)}\left( \frac{\partial^3 f(x)}{\partial x^3} + 3 \frac{\partial f(x)}{\partial x}\cdot\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} + \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x} \right)^3 \right), $$ y del mismo modo con la cuarta derivada de la suma de los coeficientes es $15$, etc.

Nota posterior: he Aquí un resumen de la prueba: la inducción Matemática en el orden de la derivada.

Answer 2

Así que sabemos que si $f,g$ son infinitamente diferenciable, podemos calcular $$ \frac{d}{dx} \left( e^{f(x)} g(x) \right) = \left( f'(x) e^{f(x)} \right) g(x) + e^{f(x)} g'(x) = e^{f(x)} \left( f'(x) g(x) + g'(x) \right). $$ Así que desde $e^{f(x)} = e^{f(x)} \left( 1 \right)$ y que sabemos que todos los derivados de $e^{f(x)}$ va a ser de la forma $e^{f(x)}g(x)$ para algunas funciones $g$, podemos aplicar la fórmula anterior y se supone que $$ \frac {d^n}{dx^n} e^{f(x)} = e^{f(x)} g_n(x), \qquad g_0(x) = 1. $$ Podemos utilizar la fórmula de arriba para encontrar una relación de recurrencia para $g_n(x)$ : $$ g_n(x) = f'(x) g_{n-1}(x) + g_{n-1}'(x), \qquad g_0(x) $$ La fórmula de Wolfram Alpha proporcionada por la Integral se ve mal porque no debe ser no$f(x)^j$; es imposible hacer la función de $f$ aparecen en el factor debido a que todos los derivados de $e^{f(x)}$ tienen los derivados de la $f$ aparecen en el factor (es decir, la función de $g_n$), pero nunca la función de $f$ sí.

Si usted quería esto para sí mismos, para calcular derivadas mayores de $e^{f(x)}$ le sugiero que sólo se aplica la relación de recurrencia para obtener los primeros. Para una fórmula general, debo admitir que no sé. Requeriría más de pensamiento.

Answer 3

No sé cómo conseguir este resultado, pero la comprobación de wolfram solución. Es exactamente lo que usted está buscando.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%5En%2Fdx%5En%28e%5E%28f%28x%29%29%29

Answer 4

Problema relacionado con:(I), (II). Aquí es una fórmula para el $n$th derivada de la función $e^{\sin(x)}$

$$\left( e^{\sin(x)}\right)^{(n)}={{ i}^{{n} }}\ e^{\sin ( x )} \sum _{k=0}^{n} \la suma de _{j=0}^{n-k}\sum _{m = 0 }^{k} \frac{\left(-1 \right)^{n-k-m} {i}^{{ j + m}} }{{2}^{(j+m)}} {n\elegir k} \left\{\matriz{n-k\\j}\right\} \left\{\matriz{k\\m}\right\} {\rm e}^{ i x (m - j)}\\ n \in \mathbb{N},\, i = \sqrt{-1}. $$

donde $\left\{\matrix{n\\k}\right\}$ son los números de Stirling del segundo tipo.

Nota: voy a apreciar si alguien está interesado en verificar esta fórmula con la de Maple o Mathematica. Yo ya lo probé con Arce y que debería estar bien.

Answer 5

Esta es una aplicación simple de Faà di Bruno de la fórmula.

$$\partial_x^n e^{f(x)}=e^{f(x)}\sum \frac{n!}{\prod_{j=1}^n m_j!\,j!^{m_j}}\cdot \prod_{j=1}^nf^{(j)}(x)^{m_j},$$

donde la suma es sobre todos los $n$-tuplas $(m_1,\dots,m_n)\in{\Bbb N}^n$ tal que $\sum_{j=1}^nj\,m_j=n$.