Pregunta sobre la lógica de mi prueba

Question

Bien, estoy trabajando en el siguiente problema relativamente sencillo:

Sea $f(x) = |x-3| + |x-1|$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . Buscar todos $t$ para lo cual $f(t+2) = f(t)$ .

Por lo tanto, si $f(t+2)=f(t)$ es equivalente a $|t+1| = |t-3|$ . Por lo tanto, si esto se cumple, se pueden elevar al cuadrado ambos lados y llegar a $t=1$ . Por lo tanto, este valor de $t$ es una condición necesaria, pero a primera vista no es el único valor. Para demostrar la suficiencia, ¿podría dejar que $t = 1 + \epsilon$ Introdúzcala en la ecuación anterior y deduzca que $\epsilon = 0$ y concluye que $t=1$ ¿es el único valor? ¿Entraría eso en demostrar que este es el único valor?

Answer 1

Al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación no se pueden perder soluciones, sólo se pueden obtener soluciones adicionales. falso soluciones. Desde $t=1$ satisface $|t+1|=|t-3|$ es decir $t=1$ no es un falso solución y es la única solución.

Answer 2

Su trabajo ya demuestra que si hay un valor de $t$ tal que $f(t+2) = f(t)$ entonces $t=1$ . Para demostrar la suficiencia, hay que demostrar que $f(1+2) = f(1)$ .

Answer 3

No es necesario cuadrar ambos lados:

$$|t+1|=|t-3|\Leftrightarrow t+1=\pm(t-3)$$

Pero

$$t+1=t-3\to1=-3$$

que no tiene solución, por lo que

$$t+1=-t+3\to t=1$$

Así que.., $1$ es la única solución.

Answer 4

No hay nada malo en irrumpir en los casos.

|t+1|=|t-3|

Caso 1: t+1 y t-3 tienen la misma paridad.

Entonces t+1=t-3, lo cual es imposible.

Caso 2: tienen paridad opuesta.

El t+1=-(t-3)=3-t. Entonces t=1.

Es la única solución posible.