¿Propiedad universal de un anillo monoide expresada como una adjunción?

Question

Dado un anillo (no necesariamente conmutativo) $R$ y un monoide $M$ podemos formar el anillo monoide $R[M]$ de la misma manera que formamos el anillo del grupo. Yo esperaría que la construcción del anillo monoide fuera adjunto a la izquierda de algún functor "olvidadizo", probablemente enviando un anillo a su monoide multiplicativo subyacente, pero la propiedad universal dada en el artículo de wikipedia sugiere que no es tan sencillo, ya que implica un par de homomorfismos y una condición de conmutatividad. Esto me sugiere que tal vez implique funtores (hacia o desde) una categoría de coslice (¿tal vez anillos bajo R?).

¿Cuál sería la forma correcta de enunciar esta propiedad universal como una adjunción? Sólo tengo curiosidad.

Answer 1

Christian Sievers El comentario de la Sra. G. tiene la idea correcta. Arreglar el anillo $R$ . Un $R$ -Álgebra es un $R$ -bimodulo, $M$ , equipado con un mapa $\times:M\otimes M\rightarrow M$ que es asociativo y tiene un elemento de identidad. Obsérvese que $R[M]$ no es sólo un anillo, sino un $R$ -Álgebra.

Cada $R$ -tiene un monoide multiplicativo subyacente dado por el olvido de la $R$ -estructura de módulo y sólo recordando $\times$ . El functor $R[-]$ es adjunto a la izquierda de este functor de olvido.

Los grupos abelianos son exactamente lo mismo que $\mathbb Z$ -módulos. Del mismo modo, los anillos son lo mismo que $\mathbb Z$ -(porque sus grupos aditivos subyacentes son $\mathbb Z$ -y su multiplicación da como resultado $\times$ ). Por lo tanto, el adjunto izquierdo al funtor olvidadizo que toma cualquier anillo y da su monoide multiplicativo es el funtor $\mathbb Z[-]$ .