La elección de un límite para la integración

Question

Tengo el siguiente ecuación diferencial $$ \frac{d}{dx}\left(\mu e^{cx}f(x)\right) = -\mu\left(\frac{a xe^{-cx}}{x+x-1}\right) $$ que estoy tratando de integrar a encontrar $f(x)$ con el límite de la restricción que $f(1) =1$. El factor de integración $\mu$ está dado por $$ \mu = e^{\frac{c}{1+a}x}\left((a+1)x-1\right)^{\frac{1+un+ac}{(1+a)^2}} $$ Si integramos esta con un límite inferior de $x$ $$ \mu e^{ct}f(t)\big|_x = -\int_x \mu\left(\frac{a de te^{-ct}}{t+t-1}\right)dt $$ Sin embargo, lo que sería un razonable límite superior para que pueda encontrar $f(x) = ?$. El factor de integración tiene un cero en $x=1/(a+1)$. Tendría sentido para integrar a este límite?

Answer 1

Estoy un poco confundido. ¿Por qué no acaba de integrar entre $1$$x$, por lo que se llega a utilizar su condición inicial $f(1)=1$? Usted recibirá $$\mu(x) e^{ct}f(t)\big|_1^x = -\int_1^x \mu(t)\left(\frac{a te^{-ct}}{a t+t-1}\right)dt$$ que da $$\mu(x) e^{cx}f(x)-\mu(1) e^{c}1 = -\int_1^x \mu(t)\left(\frac{a te^{-ct}}{a t+t-1}\right)dt$$ y así obtener $$f(x) =\frac{\mu(1) e^{c}}{\mu(x) e^{cx}} -\frac{1}{\mu(x) e^{cx}}\int_1^x \mu(t)\left(\frac{a te^{-ct}}{a t+t-1}\right)dt,$$which holds for all $x \ne 1/(a+1)$. Dudo que la integral puede ser resuelto, ya que se parece mucho a una función Gamma.