Cómo probar que $\lim_{k\to+\infty}\frac{\sin(kx)}{\pi x}=\delta(x)$

Question

Es bien sabido que: $$\lim_{k\to+\infty}\frac{\sin(kx)}{\pi x}=\delta(x).$$ Esto también puede ser escrito como $$ 2\pi\delta(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}e^{ikx}\,\mathrm dk.$$ Sin embargo, no sé cómo probar esto sin el uso de la transformada de Fourier. Ya he buscado en google y busqué algunos libros, pero acabo de llegar de la nada.

En definitiva, quiero saber la prueba de esta ecuación: $$\lim_{k\to+\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(kx)}{\pi x}f(x)dx=f(0).$$

Answer 1

Voy a demostrar que el límite es cierto en la distribución sentido: para todos los $\varphi \in C_{c}^{\infty}(\Bbb{R})$ hemos

$$ \lim_{k\to\infty} \int_{\Bbb{R}} \frac{\sin (kx)}{\pi x} \varphi(x) \, \mathrm{d}x = \varphi(0). $$

El estándar de la aproximación-a-la-identidad argumento se divide la integral en cerca de cero parte y de parte de cero, y la estimación de cada parte por separado. En este caso, sin embargo, este enfoque es un poco doloroso por el hecho de que $\sin(kx)/\pi x$ no es absolutamente integrable. Así que adoptar una indirecta, pero más fácil.

Prueba. Definir $F(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{x} \frac{\sin t}{t} \, \mathrm{d}t$. Es fácil comprobar que $F$ es acotado, $F(-\infty) = 0$$F(+\infty) = 1$. Luego de realizar la integración por partes, podemos escribir

$$ \int_{\Bbb{R}} \frac{\sin (kx)}{\pi x} \varphi(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{\Bbb{R}} F(k x) \varphi'(x) \, \mathrm{d} x. $$

Ahora note que el integrando de la RHS es uniformemente acotada por $\| F \|_{\mathrm{sup}} |\varphi'| $, que es integrable. Por lo tanto, teniendo $k \to \infty$, el teorema de convergencia dominada muestra que

$$ \lim_{k\to\infty} \int_{\Bbb{R}} \frac{\sin (kx)}{\pi x} \varphi(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{\Bbb{R}} \lim_{k\to\infty} F(k x) \varphi'(x) \, \mathrm{d} x = - \int_{\Bbb{R}} H(x) \varphi'(x) \, \mathrm{d} x, $$

donde $H(x)$ es la función escalón unitario. Ahora manualmente computación en la última integral da

$$ - \int_{\Bbb{R}} H(x) \varphi'(x) \, \mathrm{d} x = - \int_{0}^{\infty} \varphi'(x) \, \mathrm{d} x = \varphi(0) $$

y por lo tanto la demanda de la siguiente manera.

Answer 2

$f_k(x)=\frac{\sin(k x)}{\pi x}$ es una función con una unidad integral sobre toda la recta real. Es toda una función, su valor en $x=0$ es igual a $\frac{k}{\pi}$ y la integral sobre toda la recta real se concentra en una vecindad del origen, que se reduce a cero como $k\to +\infty$:

$$ \lim_{k\to +\infty}\int_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}}\frac{\sin(kx)}{\pi x}\,dx =\lim_{k\to +\infty}\int_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}}\frac{k}{\pi}\,dx=1$$ por lo tanto: $$ \lim_{k\to +\infty}\int_{|x|\geq\frac{\pi}{2k}}\frac{\sin(kx)}{\pi x}\,dx = 0$$ por la regularidad (analiticity) de la $\text{sinc}(kx)$ en una vecindad del origen. Esto puede ser visto como una consecuencia de la Paley-Wiener teorema, también, ya que la transformada de Fourier de $\text{sinc}(x)$ es compacto-compatible.

Answer 3

Sugerencia:Usted sólo tiene que probar que para cualquier $f(x)$ que es continua en a $x=a$, el siguiente resultado se tiene:

• $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)$.$\delta(x-a)dx=f(a)$.

  Añadido-la Sustitución de $\delta(x-a)$ el uso de su definición, se obtiene

$\int_{a}^{a+\epsilon}$$f(x).\frac{1}{\epsilon}dx$$=\frac{1}{\epsilon}\int_{a}^{a+\epsilon}$$f(x)dx=\frac{1}{\epsilon}.(a+\epsilon-a).f(c)$ (donde $a\le c\le a+\epsilon$)$=f(a)$ para $\epsilon→0$