El lema de Zorn implica el principio de buen ordenamiento

Question

Estoy un poco confundido sobre la prueba dada aquí http://euclid.colorado.edu/~monkd/m6730/gradsets05.pdf

En la segunda página, al definir $P$ El autor dice que $B\subset A$ y $(B,<)$ es una estructura bien ordenada. ¿No es esto exactamente lo que queremos demostrar? ¿Cómo sabemos que $B$ ¿puede estar bien ordenado? ¿Qué ocurre si $P$ ¿está vacío?

Answer 1

No, el autor no asume lo que quiere demostrar, sólo miramos el conjunto $P$ de todos $(B, <)$ , donde $B$ es cualquier subconjunto de $A$ y $<$ es una orden de bien en ella. Hay tales pares, por supuesto, como por ejemplo $(\emptyset, \emptyset)\in P$ .

Answer 2

Si $A$ es no vacío, entonces todo subconjunto finito es bien ordenable, por definición de finito. Así que $P$ nunca está vacío si $A$ no está vacío.