Demostrar un no-constante de función continua en un intervalo compacto que admitir que al menos una no-local del extremo

Question

Si $f:[a,b]\to\Bbb R$ es continua y no constante, demostrar que al menos uno de los $x_0\in [a,b]$ NO es un extremo local.

Esta proposición no es tan trivial como parece. Por ejemplo, en el caso de la función de Cantor, $f$ cero, derivado de una.e., por lo tanto, casi todos los $x\in[0,1]$ es un extremo local para $f$. De hecho, ni siquiera soy capaz de demostrar que no de pie como un contraejemplo a la proposición. (Por monotonía, cada punto racional en el conjunto de Cantor es también un local de extremo para el Cantor de la función, ya que las fronteras en un intervalo donde la función tiene cero de la derivada. Así que el único de los candidatos para los no extremos locales se encuentran entre los "malos" (irracional) puntos, que son difíciles de analizar.)

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Suponga que todos los puntos en $[0,1]$ es un extremo local.

Deje $(A_n)$ ser la colección de todos los balones centrados en algunos de los $x\in [0,1]\cap \mathbb{Q}$ y racional de la radio, y deje $B_n := A_n \cap [0,1]$.

Para cada $n$ consideremos los conjuntos $$ C_n := \{x\in B_n:\ f(x) \leq f(y) \ \forall y\en B_n\}, \quad D_n := \{x\in B_n:\ f(x) \geq f(y) \ \forall y\en B_n\}. $$ Claramente, $f$ es constante en cada una de las $C_n$ y cada una de las $D_n$.

Además, por supuesto de todos los $x\in [0,1]$ pertenece a $C_n$ o $D_n$, es decir, $$ [0,1] = \bigcup_n (C_n \copa D_n). $$ Por lo tanto $f([0,1])$ es una contables conjunto, y está conectado (debido a $f$ es continuo), por lo que debe ser un singleton.