Interesante Determinante

Question

Deje $x_1,x_2,\ldots,x_n$ $n$ números reales que satisfacen $x_1<x_2<\cdots<x_n$. Definir \begin{equation*} A=% \begin{bmatrix} 0 & x_{2}-x_{1} & \cdots & x_{n-1}-x_{1} & x_{n}-x_{1} \\ x_{2}-x_{1} & 0 & \cdots & x_{n-1}-x_{2} & x_{n}-x_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_{n-1}-x_{1} & x_{n-1}-x_{2} & \cdots & 0 & x_{n}-x_{n-1} \\ x_{n}-x_{1} & x_{n}-x_{2} & \cdots & x_{n}-x_{n-1} & 0% \end{bmatrix}% \end{ecuación*}

Podría usted determinar el determinante de a $A$ en el plazo de $x_1,x_2,\ldots,x_n$?

Puedo hacer varias Cálculo: Para $n=2$, obtenemos

\begin{equation*} A=% \begin{bmatrix} 0 & x_{2}-x_{1} \\ x_{2}-x_{1} & 0% \end{bmatrix}% \text{ y}\det (A)=-\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2} \end{ecuación*}

Para $n=3$, obtenemos

\begin{equation*} A=% \begin{bmatrix} 0 & x_{2}-x_{1} & x_{3}-x_{1} \\ x_{2}-x_{1} & 0 & x_{3}-x_{2} \\ x_{3}-x_{1} & x_{3}-x_{2} & 0% \end{bmatrix}% \text{ y}\det (A)=2\left( x_{2}-x_{1}\right) \left( x_{3}-x_{2}\right) \left( x_{3}-x_{1}\right) \end{ecuación*}

Para $n=4,$ tenemos

\begin{equation*} A=% \begin{bmatrix} 0 & x_{2}-x_{1} & x_{3}-x_{1} & x_{4}-x_{1} \\ x_{2}-x_{1} & 0 & x_{3}-x_{2} & x_{4}-x_{2} \\ x_{3}-x_{1} & x_{3}-x_{2} & 0 & x_{4}-x_{3} \\ x_{4}-x_{1} & x_{4}-x_{2} & x_{4}-x_{3} & 0% \end{bmatrix} \\% \text{ y} \\ \det (A)=-4\left( x_{4}-x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right) \left( x_{3}-x_{2}\right) \left( x_{4}-x_{3}\right) \end{ecuación*} Por último, supongo que la respuesta es $\det(A)=2^{n-2}\cdot (x_n-x_1)\cdot (x_2-x_1)\cdots (x_n-x_{n-1})$. Pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Claramente el factor determinante es $0$ si $x_i = x_{i+1}$ (debido a que dos filas adyacentes son idénticos) o $x_1 = x_n$ (última fila es $-$ primera fila). Por lo que el determinante debe ser un polinomio es divisible entre $(x_1 - x_2)(x_2 - x_3) \ldots (x_{n-1} - x_n)(x_n - x_1)$. Pero el determinante tiene el grado $n$, por lo que es una constante en los tiempos de este producto. Para determinar cuál es la constante es, usted puede tratar de un caso especial: $x_i = i$.

EDIT: Gracias a J. M. de la observación, se puede mostrar que en ese caso especial de la inversa de la matriz $A_n$ tiene este aspecto:

$$ \pmatrix{ -\frac{1}{2}+\frac{1}{2n-2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \ldots & 0 & \frac{1}{2n-2}\cr \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 0 & \ldots & 0 & 0\cr 0 & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} & \ldots & 0 & 0\cr \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \cr 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & \frac{1}{2}\cr \frac{1}{2n-2} & 0 & 0 & 0 & \ldots & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} + \frac{1}{2n-2}\cr}$$ donde los elementos de la diagonal principal son todos los $-1$, excepto para el primero y el último, los justo por encima y por debajo de la diagonal son todos los $1/2$, en la parte superior derecha e inferior izquierda se $1/(2n-2)$, y todo lo demás es $0$.

Answer 2

La expansión de Robert solución.

Deje $det(A) = P(x)$. Deje que el polinomio de la derecha es un multi-variable polinomio $P(x)$.

Si $x_1 = x_2$ $det(A) = 0$ i.e $P(x) = 0$ es decir $(x_1 - x_2)$ es un factor de $P(x)$.

Si $x_2 = x_3$ $det(A) = 0$ i.e $P(x) = 0$ es decir $(x_2 - x_3)$ es un factor de $P(x)$.

etc. Calculamos los posibles factores de $P(x)$. Hemos calculado todos los posibles factores de $P(x)$?

Deje $Q(x) = (x_1 - x_2) (x_2 - x_3) \ldots (x_{n} - x_{1}) $

¿Qué sabemos sobre el grado de $P(x)$? Es $n$, igual a la de $Q(x)$. Por lo tanto $Q(x)$ multiplicado por una constante factor debe darnos $P(x)$ es decir, ya tenemos todos los posibles factores de $P(x)$.

Robert ya se ha mencionado, se debe calcular este factor constante.

De ello se sigue que si por cualquier $i$, $x_i = x_{i+1}$, a continuación, $P(x) =0$ es decir $det(A) = 0$. Desde que alretady tienen restricciones tales como $x_1 >x_2 \ldots x_n$, $det(A) \ne 0$.