La convergencia de $a_n=\frac{\sqrt[n]{e^1}+\sqrt[n]{e^2}+\cdots+\sqrt[n]{e^n}}n, b_n=\frac{\sqrt[n]{e^1}+\sqrt[n]{e^2}+\cdots+\sqrt[n]{e^{2n}}}n$

Question

Investigar si las siguientes secuencias son convergentes:

$$a_n=\left(\frac{\sqrt[n]{e^1}+\sqrt[n]{e^2}+\cdots+\sqrt[n]{e^n}}{n}\right)$$

$$b_n=\left(\frac{\sqrt[n]{e^1}+\sqrt[n]{e^2}+\cdots+\sqrt[n]{e^{2n}}}{n}\right)$$

Alguna idea? Supongo que uno puede ir con la inducción; la probé y resultó en un desastre.

Answer 1

Tenga en cuenta que$a_n=\frac{\sqrt[n]{e}}{n} \cdot (1+\sqrt[n]{e}+\sqrt[n]{e}^2+\dotsc+\sqrt[n]{e}^{n-1})=\frac{\sqrt[n]{e}}{n} \cdot \frac{e-1}{\sqrt[n]{e}-1}=(e-1) \cdot \sqrt[n]{e} \cdot \frac{1}{n(\sqrt[n]{e}-1)}$, usando la fórmula de la serie geométrica.

Ahora, el uso de $(1+\frac{1}{n})^n \approx e$ grandes $n$ esto significa que $\sqrt[n]{e}-1 \approx \frac{1}{n}$ y, por tanto, el límite debe ser $e$.

Se puede formalizar este argumento y probar uno similar para $b_n$?

Answer 2

$$a_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} e^{i/n}$$ Trivialmente, una suma finita finita de números es un número finito, y luego dividir por otro número finito sigue arrojando un número finito. Por lo tanto, $a_n$ es convergente para todos los finita $n$. A continuación nos cuenta lo siguiente: $$\int_{a}^{b}f(n)dn = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}\bigg(\frac{b-a}{n}\bigg)f\bigg(a+\bigg(\frac{b-a}{n}\bigg)i\bigg)$$ Sustituyendo en la $b=1$, $a=0$, y $f(n) = e^n$ $$= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)\exp\bigg(\frac{1}{n}\bigg)i$$ $$= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)\exp\bigg(\frac{1}{n}\bigg)i$$ $$= \lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}e^{i/n}\bigg)$$ Tomando nota de que este es el límite de $a_n$ $n$ enfoques $\infty$, nos encontramos con que hemos demostrado que $$ \lim_{n \to \infty}a_n = \int_{0}^{1}e^ndn$$
$$***$$ Tomando nota de que el mismo finito condiciones que hemos encontrado para $a_n$ mantener $b_n$, vamos ahora a resolver $\lim_{n \to \infty} b_n$: $$b_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{2n} e^{i/n}$$ Ahora hacemos la sustitución de $u=2n$ $$= 2\bigg(\frac{1}{u}\sum_{i=1}^{u} e^{2i/u}\bigg)$$ Sustituyendo en la $b=2$, $a=0$, y $f(n) = e^{2n}$ en la fórmula anterior: $$\int_{0}^{2}e^{2n}dn = 2\int_{0}^{2}e^udu$$ $$= 2\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{u}\bigg(\frac{2}{u}\bigg)\exp\bigg(\frac{2}{u}\bigg)i$$ $$= 4\bigg(\frac{1}{u}\sum_{i=1}^{u} e^{2i/u}\bigg)$$ $$ = 2\lim_{n \to \infty}b_n$$ Por lo tanto, nos encontramos con que hemos demostrado que $$\lim_{n \to \infty}b_n = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}e^{2n}dn$$

Answer 3

ha $ a=\int_{0}^{1} e^x $ $b=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} e^x $

Answer 4

$$a_n=\frac1n\biggl(\sum_{k=1}^n \mathrm e^{\tfrac kn}\biggr)$$ es de una alta suma de Riemann para la función de $\mathrm e^x$. Del mismo modo, $$b_n=\frac1{n}\biggl(\sum_{k=1}^{2n}\mathrm e^{\tfrac kn}\biggr).$$