Conformación de la Matanza de los campos de Schwarzschild

Question

Estoy tratando de entender que son la conformación de la Matanza de los Campos en el espacio-tiempo de Schwarzschild. Yo digo que $X$ es una de conformación campo de muerte en $S$ ($S$ es de Schwarzschild) si existe una función de $f: S \to \mathbb{R}$ tal que \begin{equation} \mathcal{L}_X g = fg, \end{equation} donde $g$ es la métrica de Schwarzschild, y $\mathcal{L}$ es la Mentira de derivados.

Sé que el tiempo de traducción, $\partial_t$, y las rotaciones, $\Omega_{ij}$ son campos de muerte, por lo tanto, de conformación campos de muerte, con $f$ constante e igual a $0$.

En el espacio-tiempo de Minkowski, por ejemplo, parametrizadas por $(x^0, x^1, x^2, x^3)$, sé que la `dilatación" de campo, es decir, el campo de $$ \sum_{i=0}^3 x^\lambda \partial_{x^\lambda} $$ es una conformación campo de muerte, con $f=2$. Me gustaría entender si hay un análogo de Schwarzschild.

Answer 1

En la geometría de Schwarzschild, el radio de Schwarzschild se rompe ingenuo de la dilatación de la simetría. En el caso simple de una radial dilatación $r \to \lambda r$, la geometría es conservado sólo por $R_S \to \lambda R_S$. Así que, ingenuamente, parece que sería difícil encontrar un trabajo de dilatación, aunque sólo sea un radial de la dilatación.

Fui a un poco de esfuerzo, como un ejercicio para mí) para encontrar un trabajo de dilatación, y fracasó. Lo que he encontrado es que el campo de vectores

$$ X = t \partial_t + r \sqrt{1-\frac{R_S}{r}} \, \partial_r $$

qué enfoques $0$ $r \to R_S$ $r \partial_r$ $r \to \infty$ es casi una conformación campo de muerte. Sin embargo, la mentira derivados de la métrica es

$$ \mathcal{L}_X g = 2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r}} \left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}- \frac{R_S}{2r} & & & \\ & \left( 1 - \frac{R_S}{r} \right)^{-1} & & \\ & & r^2 & \\ & & & r^2 \sin^2 \theta \end{array} \right) $$

Así, el tt de los componentes de la métrica estropea todo. Yo pase una pequeña cantidad de esfuerzo tratando de modificar este campo de vectores (la adición de un timelike componente, adición de tiempo explícito de la dependencia, etc.), pero hasta ahora nada ha funcionado.