¿Cómo puedo probar este trigonométricas de identidad?

Question

Necesito demostrar que la siguiente identidad es verdadera:

$$ \frac{\cos^2x-\sin^2x}{1-\bronceado^2x}=\cos^2x $$

Esto no es tarea; sólo un ejercicio de práctica. Pero sigo pegado! Muchas gracias.

Answer 1

$\cos^2(x)(1-\tan^2(x)) =\cos^2(x)- \cos^2(x)\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} =\cos^2(x)-\sin^2(x) $.

Answer 2

Vamos a empezar con nuestra expresión original: $$\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1-\tan^2 x}$$ Tenemos que demostrar que: $$\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1-\tan^2 x}=\cos^2 x$$ Paso 1: Recordar que $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Esto significa que $\tan^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$. $$\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1-\tan^2 x}=\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\left(1-\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)}$$ Paso 2: Simplificar el denominador dejando $1=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}$. $$\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\left(1-\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)}=\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\left(\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}-\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)}$$ $$\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\left(\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}-\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)}=\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\left(\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)}$$ Paso 3: Recordar que $\dfrac{a}{c}=a\left(\dfrac{1}{c}\right)$. $$\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\left(\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)}=\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right)\left(\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x-\sin^2 x}\right)$$ $$\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right)\left(\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x-\sin^2 x}\right)=\cos^2 x\left(\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x-\sin^2 x}\right)$$ $$\cos^2 x\left(\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x-\sin^2 x}\right)=\cos^2 x$$ $$\displaystyle \boxed{\therefore \dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1-\tan^2 x}=\cos^2 x}$$

Answer 3

Sugerencia: Trate de factoring $\cos^2 x$ fuera del numerador en el lado izquierdo

Answer 4

Esta es una especie de "inversión" de MPWsugerencia, utilizando la diferencia de dos cuadrados:

$$ \frac{\cos^2 x \ - \ \sin^2 x}{1-\tan^2x} \ = \ \frac{(\cos x - \sin x) \ (\cos x + \sin x) }{(1 - \tan x) \ (1 + \tan x)} $$

$$ = \ \frac{(\cos x - \sin x) \ (\cos x + \sin x) }{(1 - \tan x) \ (1 + \tan x)} \ \cdot \ \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} $$

$$ = \ \frac{(\cos x - \sin x) \ (\cos x + \sin x) }{\cos x \cdot (1 - \tan x) \cdot \cos x \cdot (1 + \tan x)} \ \cdot \ \frac{\cos^2 x}{1} $$

$$= \ \frac{(\cos x - \sin x) \ (\cos x + \sin x) }{(\cos x - \sin x) \ (\cos x + \sin x)} \ \cdot \ \cos^2 x \ = \ \cos^2x \ \ . $$

También podríamos usar dos versiones de la Identidad Pitagórica para escribir

$$ \frac{\cos^2 x \ - \ \sin^2 x}{1 \ - \ \tan^2x} \ = \ \frac{\cos^2 x \ - \ [ 1 - \cos^2 x]}{1 - \ [\sec^2 x - 1]} \ = \ \frac{2 \cos^2 x \ - \ 1 }{2 \ - \ \sec^2 x } $$

$$ = \ \frac{2 \cos^2 x \ - \ 1 }{2 \ - \ \sec^2 x } \ \cdot \ \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} \ = \ \frac{2 \cos^2 x \ - \ 1 }{ ( 2 - \sec^2 x ) \ \cos^2 x } \ \cdot \ \frac{\cos^2 x}{1} $$

$$ = \ \frac{2 \cos^2 x \ - \ 1 }{2 \cos^2 x \ - \ 1 } \ \cdot \ \cos^2 x \ = \ \cos^2 x \ \ . $$