Más grande de primos divisores de números consecutivos

Question

¿Cuál es la mayor constante de $c$ tal que para cualesquiera números primos $p, q$$p<q<cp$, existen dos enteros positivos consecutivos, uno con mayor divisor primo $p$, y el otro con mayor divisor primo $q$?

Esta pregunta muestra que el $c=2$ obras, y el argumento se utiliza exactamente $c=2$. ¿Qué puede ir mal si $c>2$? Para muchos pares de números primos, parece que la búsqueda de esos números enteros consecutivos es todavía posible. Por ejemplo, si $p=3$$q=29$, podemos tomar $(144,145)$.

Answer 1

Por ejemplo, $2$ $23$ no trabaja. Uno de los enteros consecutivos debe ser una potencia de $2$. Puesto que el orden de $2$ mod $23$ es $11$, $2^k + 1$ nunca es divisible por $23$, mientras que $2^k - 1$ es divisible por $23$ fib $k$ es divisible por $11$. Pero, a continuación, $2^k - 1$ es también divisible por $89$.

EDIT: tengo la sospecha de que $3$ $89$ no funciona, pero no tengo una prueba.

Answer 2

Para cualquiera de los números primos $p, q$ tal que $p$ $<$ $q$ $<$ $cp$ si y sólo si para un primer factor de $s$$q-1$, el mayor factor principal de $p^s-1$$q$. Por supuesto, hay otras posibilidades. Para encontrar cualquiera de los dos primos $p, q$ elegir un primer $p$ y un primer $s$. Ahora el factor de $p^s-1$. Todos los factores de $p^s-1$ son congruentes a $1$ $\pmod s$, incluyendo $q$. Elija el mayor factor primo $q$ $|$ $p^s-1$. Ahora para encontrar la constante de $c$, dividir $q$/$p$, y ronda.

Ejemplo:

Elegir $p = 3$, $s = 5$.

$3^5-1$ $=$ $2*11^2$, por lo tanto $q$ = $11$, el mayor factor principal de $3^5-1$. Para encontrar $c$ resolver la desigualdad compuesta

$3$ $<$ $11$ $<$ $3c$.

$c$ $>$ $11/3$

El entero más pequeño $c$$c = 4$.

El par $p$ = $3$, $q$ $=$ $11$, $c$ $=$ $4$ es una solución a tu pregunta (Si la he entendido a la derecha.)