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Un grupo de la orden de 30 ha en la mayoría de los 7 subgrupos de orden 5

Mostrar que un grupo de la orden de 30 ha en la mayoría de los 7 subgrupos de orden 5.

Esta debe ser una pregunta básica (a partir de una introducción al álgebra, por supuesto), pero no tengo ni idea... por Favor ayuda!

9voto

SixthOfFour Puntos 138

La intersección de dos subgrupos en sí es un subgrupo. El Teorema de Lagrange, por tanto, implica que la intersección de dos subgrupos de orden $5$ debe tener un orden $1$ o $5$. Por lo tanto, los dos subgrupos de orden $5$ debe intersectar sólo en el elemento de identidad.

Si hay $k$ distintos subgrupos de orden $5$, entonces no se $1+4k$ elementos distintos en los subgrupos, que se debe en la mayoría el orden del grupo.


El uso de esta BRECHA código

for G in AllSmallGroups(30) do
  S:=Set(List(G,g->Group(g)));
  Print(StructureDescription(G)," ",Number(S,H->Size(H)=5),"\n");
od;

Podemos comprobar que todo grupo de orden $30$, en realidad tiene un único subgrupo de orden $5$. Estos grupos son $C_5 \times S_3$, $C_3 \times D_{10}$, $D_{30}$, y $C_{30}$. (Ver también Grupos de orden 30.)

8voto

Matt Samuel Puntos 22587

Va a tener menos de $7$, pero demostrando que requiere algunas herramientas que no suena como que usted tiene.

Dos subgrupos de orden $5$ se cruzan sólo en la identidad (del teorema de Lagrange). Esto significa que no hay dos compartirá cualquier nonidentity elementos. Así, si no se $m$ subgrupos de orden $5$, se puede calcular exactamente cuántos elementos hay en su unión. Esto no puede ser más que $30$, el orden del grupo.

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