Encontrar a los desaparecidos dígitos en la expansión de $34!$

Question

Si $34!=295232799cd96041408476186096435ab000000$, a continuación, encontrar el valor de $a,b,c$ $d.$

Mi Intento: que puedo encontrar que $b=0$ porque tiene siete cinco enteros.

Nota: la calculadora no está permitido.

Answer 1

$34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000$

$\left \lfloor \dfrac{34}{5} \right \rfloor = 6$

$\left \lfloor \dfrac{6}{5} \right \rfloor = 1$

Así que hay $6+1 = 7$ ceros al final de la $34!$. Por lo tanto $$\color{red}{b = 0}$$

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TEOREMA: Calcular los siguientes

• $N = 5q_1 + R_1$

• $q_1 = 5q_2 + R_2$

• $q_2 = 5q_3 + R_3$

• ...

• $q_{n-1} = 5q_n + R_n$

donde $0 \le R_i < 5$ todos los $i$$0 \le q_n < 5$.

A continuación, el primer dígito distinto de cero en $N!$ es

$U(N!) = 2^P \veces Q! \times R_1! \times R_2! \times R_3! \dots \times R_n! \pmod{10}$

Donde

• $P = q_1 + q_2 + \cdots + q_n$
• $Q = q_n$

Calculamos \begin{align} 34 &= 5(6) + 4 \\ 6 &= 5(1) + 1 \\ 1 &= 5(0) + 1 \\ \end{align}

$P = 6 + 1 = 7$

$Q = 0$

\begin{align} U(34!) &= 2^7 \times 0! \times 4! \times 1! \times 1! \pmod{10} \\ &= 8 \times 0! \times 4 \times 1! \times 1! \pmod{10} \\ &= 2 \end{align}

Por lo $$\color{red}{a = 2}$$

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$34! = 2\; 95\; 23\; 27\; 99\; \color{red}{cd}\; 96\; 04\; 14\; 08\; 47\; 61\; 86\; 09\; 64\; 35\; 20\; 00\; 00\; 00$

Claramente $99 \mid 34!$, por Lo que, cuando nos arrojamos $99's$,$0$. El emparejamiento de los números en $34!$ de derecha a izquierda, saltando $cd$, y la adición de modulo $99$, obtenemos

$ 2 + 95 + 23 + 27 + 99 + 96 + 04 + 14 + 08 + 47 + 61 + 86 + 09 + 64 + 35 + 20 + 00 + 00 + 00 \pmod{99} = 96$

Por lo $cd = 99 - 96 = 03$

Por lo tanto

$$ \color{red}{c = 0} $$

$$ \color{red}{d = 3} $$

Answer 2

Esta es una solución parcial...

Utilizar todas las reglas de divisibilidad.

Pero primero, usted puede notar que la $32!=2^31\times5^7\times\cdots$, por lo que hay $7$ ceros al final del número. Por lo $b=0$, e $a\ne 0$.

$34!$ es divisible por $9$, así:

$$4+a+c+d=0\pmod 9.$$

Es divisible por $7$, así:

$$000-000+5a0-643+609-618+847-140+604-cd9+799+327-952+2=0\pmod 7,$$

así

$$835+5a0-cd9=0\pmod 7.$$

Es divisible por $11$, así:

$$2-2+5-2+9-7+2-3+9-9+7-9+d-c+4-0+6-0+4-1+7-4+1-7+4-8+8-1+6-9+0-6+3-4+6-0+a-5=0\pmod {11},$$

así

$$6+a-c+d=0\pmod {11}.$$

También es divisible por $13$, así que usted puede ver en la alternativa de la suma de tres dígitos de la izquierda.

Y así sucesivamente...

Trate de buscar en este artículo acerca de las reglas de divisibilidad.

Espero que esto ayude!

Answer 3

$34!=295232799039604140847618609643520000000$.

Por lo tanto,$a=2, b=0, c=0, d=3$.