Dejemos que $A=[0,1]^\mathbb{N}$ dotado de la topología del producto. Sé que $A$ es metrizable y completo, pero es el conjunto $\{v\in A: \Vert v \Vert_\infty=1\} $ compacto, donde $\Vert \Vert_\infty$ ¿es la norma sup?
Respuesta
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$A$ es compacto y Hausdorff, por lo que sus subconjuntos compactos son precisamente sus subconjuntos cerrados. Todo conjunto abierto no vacío en $A$ contiene puntos de norma $1$ por lo que el conjunto de puntos de norma $1$ es denso en $A$ . Dado que el conjunto de puntos de la norma $1$ no es todo $A$ No está cerrado. $A$ y, por tanto, no es compacto.
