Determinar un número entero positivo $n\leq5$ tal que $\int_{0}^{1}e^x(x-1)^ndx=16-6e$

Question

Determinar un número entero positivo $n\leq5$ tal que $\int_{0}^{1}e^x(x-1)^ndx=16-6e$ .

Traté de solucionarlo. Pero como $n$ es dado a ser $\leq$ 5, mis cálculos fueron largos.

Aplicando repetidamente la integración por partes, obtenemos
\begin{align} \int e^x(x-1)^n \, dx &= \left[(x-1)^ne^x-n(x-1)^{n-1}e^x+n(n-1)(x-1)^{n-2}e^x \right. \\ & \hspace{5mm} \left.-n(n-1)(n-2)(x-1)^{n-3}e^x+n(n-1)(n-2)(n-3)(x-1)^{n-4}e^x \right. \\ & \hspace{5mm} \left.-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)e^x\right] \end{align} \begin{align} \int_{0}^{1}e^x(x-1)^n \, dx &= -n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)e-(-1)^n+n(-1)^{n-1}-n(n-1)(-1)^{n-2} \\ & \hspace{5mm} +n(n-1)(n-2)(-1)^{n-3}-n(n-1)(n-2)(n-3)(-1)^{n-4} \\ & \hspace{5mm} +n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \\ &=16-6e \end{align}

Ahora bien, resolver esto es muy difícil, ¿hay otro método simple y elegante para encontrar $n=3.$

Answer 1

SUGERENCIA:

Dejemos que $x-1=y$

$$\int_0^1e^x(x-1)^n\ dx=\int_{-1}^0e^{y+1}y^n\ dy=e\int_{-1}^0e^yy^n\ dy$$

Ahora integrando por partes, $$I_n=\int_{-1}^0e^yy^n\ dy=[y^n\int e^y\ dy]_{-1}^0-\int_{-1}^0\left(\dfrac{d(y^n)}{dy}\int e^y\ dy\right)dy$$

$\implies I_n=-(-1)^n\dfrac1e-nI_{n-1}$

Ahora $I_0=\int_{-1}^0e^y\ dy=1-\dfrac1e$

$\implies I_1=\dfrac1e-I_0$ y así sucesivamente

Answer 2

SUGERENCIA:

Nótese, la siguiente propiedad de la integral definida $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$

Ahora, tenemos

$$\int_{0}^{1}e^x(x-1)^ndx=16-6e$$ $$\int_{0}^{1}e^{1-x}(1-x-1)^ndx=16-6e$$ $$\int_{0}^{1}e^{1-x}(-x)^ndx=16-6e$$ $$\int_{0}^{1}e \cdot e^{-x}(-1)^nx^n dx=16-6e$$ $$(-1)^n e\int_{0}^{1} e^{-x}x^n dx=16-6e$$

Espero que pueda seguir adelante.

Answer 3

Si ponemos $$ I_n = \int_{0}^{1}e^x(1-x)^n\,dx = \int_{0}^{1}x^n e^{1-x}\,dx\tag{1}$$ la integración por partes da: $$ I_{n+1} = -1 + (n+1)\, I_n\tag{2}$$ Desde $I_0 = -1+e$ utilizando la fórmula anterior y la inducción tenemos: $$ \forall n\in\mathbb{N},\qquad I_n = A_n + B_n e,\quad A_n,B_n\in\mathbb{Z}\tag{3}$$ así como $$ B_n = n! \tag{4} $$ por lo que la solución al problema original es claramente $n=\color{red}{3}$ .

Answer 4

Yo definiría

$$a_n:=\int_0^1 e^x (x-1)^n dx.$$

Entonces simplemente obtenemos $a_0=e-1$ y para $n>0$ utilizando integraciones por partes obtenemos $$a_n = [e^x(x-1)^n]_0^1 - n\int_0^1 e^x (x-1)^{n-1}dx = (-1)^{n+1}-n a_{n-1}.$$

Con esa fórmula recursiva se calcula $a_1$ , $a_2$ y $a_3$ muy rápidamente y obtener su resultado $a_3=16-6e$ .

Answer 5

Si tienes razones para creer que la ecuación se satisface con un número entero positivo $n\le5$ podemos descartar los enteros pares $n=2$ y $4$ desde $16-6e\approx-0.30969$ es negativo. Para los enteros Impares, un cambio de variable deja la ecuación

$$I_n=\int_0^1 x^ne^{-x}dx=6-{16\over e}\approx0.1139$$

Ahora

$$1-x\le e^{-x}\le1-x+{1\over2}x^2\quad\text{for }0\le x\le1$$

lo que significa

$$I_1\ge\int_0^1(x-x^2)dx={1\over2}-{1\over3}={1\over6}=0.1666\ldots$$

es demasiado grande, y

$$I_5\le\int_0^1(x^5-x^6+{1\over2}x^7)dx={1\over6}-{1\over7}+{1\over16}\approx0.0863$$

es demasiado pequeño. Así que por el principio de Ricitos de Oro, $n=3$ debe estar bien.