Si$p > 3$ es primo, entonces$12 $ divide$p^2 - 1$

Question

En primer lugar, sé que hay un montón de preguntas similares con 24, y no 12. Tan desnudo conmigo por favor :)

¿Cuál es la Pregunta?

Considere los siguientes números de la forma $p^2 - 1$ donde $p$ es primo.

$$5^2 - 1 = 24$$ $$7^2 - 1 = 48$$ $$11^2 - 1 = 120$$

Cada uno de estos números es divisible por 12. Probar o proporcione un contraejemplo a la siguiente declaración: "Si $p > 3$ es primo, entonces $12 $ | $p^2 - 1$"

Lo he intentado?

Bueno por lo que fuera de la cúspide conozco dos métodos que podrían ayudar.

1. Aritmética Modular
2. Y que cualquier prime $\geq$5 puede ser representado como $6k \pm 1 $

Sólo estoy alcanzando en el contenido del curso y la aritmética modular así que realmente no sé por dónde empezar.

Supongo porque es de 12 | 24, la prueba va a ser muy similares a los proporcionados en este foro para que la pregunta Por cualquier prime $p > 3$, ¿por qué es $p^2-1$ siempre divisible por 24? Supongo que yo wan't para asegurarse.

Answer 1

Dado que$p^2-1=(p-1)(p+1)$ y$p$ es impar, tienes que$p^2-1$ es el producto de dos números pares, por lo tanto, su producto se puede dividir por$4$. Además, uno de$p-1,p,p+1$ es un múltiplo de$3$, pero como$p$ es primo, no es$p$, por lo tanto, el producto es divisible por 3. Por lo tanto, el resultado es divisible por$3*4=12$.

En realidad, dados dos números pares consecutivos, uno de ellos será divisible por$4$, y por lo tanto$p^2-1$ será divisible por$8*3=24$.

Answer 2

PS

Answer 3

Desde u saber que cualquier prime $≥5$ puede ser representado como $6 k±1$ así, $$p=6 k±1$$ $$p^2=36 k^2 ± 12 k + 1$$ $$p^2=12(3 k^2 ± 2 k) + 1$$ $$p^2-1=12(3 k^2 ± 2 k) + 1 -1$$ $$p^2-1=12(3 k^2 ± 2 k)$$ Que es divisible por $12$....(Q. E. D)

Answer 4

$\begin{array}{rcl}p^2-1 &=& (p+1)(p-1) \\\\ &=& (6k\pm1+1)(6k\pm1-1) \\\\ &=& (6k+2)(6k)\ \text{or}\ (6k)(6k-2) \\\\ &=& 12k(3k+1)\ \text{or}\ 12k(3k-1)\end{array}$