Recientemente me encontré con el tema de la geometría no conmutativa a través de mi interés en el análisis funcional. Mi muy poca exposición a este tema me da una sensación de que parte de ella se construye sobre la teoría de las álgebras de operadores y que, junto con muchas otras herramientas y técnicas que se utilizan para el estudio geométrico o topológico problemas. Yo no podía dejar de preguntar (tal vez ingenuamente) si las cosas pueden ir de otra manera, es decir, utilizando las herramientas de la geometría no conmutativa para el estudio de las álgebras de operadores (o incluso otros objetos que uno podría asociar con el análisis funcional, tales como los espacios de operadores, etc.). Si alguien sabe de este enfoque, agradecería algunas descripciones o referencias.
Respuesta
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Una instancia en la que un operador de la teoría problema fue resuelto a través de "no conmutativa de la topología" (en realidad es la introducción de ese punto de vista en el operador de la teoría) es el Marrón-Douglas-Fillmore teoría para clasificar esencialmente normal de los operadores. Encontraron que, además de los esenciales del espectro, el índice de Fredholm fue el ingrediente clave para la clasificación y puede ser colocado en el contexto de un cohomology teoría, llamada $Ext$ $C^*$- álgebras.
Otro caso es el de la clasificación de la separables nuclear $C^*$-álgebras por los invariantes construido usando $K$-teoría, que es un cohomology teoría que sobrevive, más o menos intacta, el pasaje de espacio topológico a $C^*$-álgebras.
Tanto en $K$-la teoría y la $Ext$ son instancias de $KK$-teoría, un cohomology-como bivariant functor de la categoría de $C^*$-álgebras a la categoría de abelian grupos. Es debido a Kasparov.
Una introducción a BDF teoría y algunos básicos de clasificación de los resultados se puede encontrar en $C^*$-álgebras por Ejemplo por Davidson, que es un operador teórico.
El otro seminal resultado en este sentido es el de Atiyah-Singer índice teorema. Una introducción en la que se lleva a la $C^*$-algebraico de la ruta se encuentra en el enlace de folk.uio.no/rognes/higson/Libro.pdf. (I alta recomendar algo escrito por Nigel Higson.)
También, hubo un AMS Avisos de Lo que se ... artículo de J. Cuntz, en no conmutativa de la topología.
Como para espacios de operadores, que tienen bastante estableció la teoría de que en este punto no hay mucho geometría/topología en ella. Uno podría llamar que no conmutativa análisis funcional como contraposición a la topología.
Usted también puede querer a este post para MathOverflow donde podría haber más, no conmutativa los geómetras alrededor.
