Adjunto formal del operador$\overline{\partial}$

Question

Contexto: El Futaki Invariante en Kähler Geometría.

Referencia: Página 24 de Pandillas Tian, el libro Canónico de Métricas en Kähler Geometría.

Deje $(M, g, \omega)$ ser un equipo compacto Kähler colector de Kähler métrica $g$ y Kähler forma $\omega$. Deje $X$ ser un holomorphic campo de vectores en $M$. Desde $\omega$ es cerrado y $X$ es holomorphic, $$\overline{\partial}(i_X \omega) =0.$$ Hence, by the Hodge theorem, there exists a smooth function $\vartheta_X$ and a harmonic 1-form $\alpha$ such that $$i_X \omega = \alpha - \overline{\partial} \vartheta_X.$$ In particular, $$\alpha = i_X \omega + \overline{\partial} \vartheta_X$$ and $\overline{\parcial} \alpha =0$.

Reclamo: $\overline{\partial}^{\ast} \alpha =0$ donde $\overline{\partial}^{\ast}$ denota la formal adjunto de $\overline{\partial}$.

Esto es claramente una observación elemental, pero es no hacer clic en para mí. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.

(Edit): pido Disculpas por hacer dos preguntas en el mismo post.

Reclamo: Si $X^i$ denotar los componentes de la holomorphic campo de vectores descritos anteriormente. ¿Cómo se $$X^i = g^{i\overline{j}} \frac{\partial \alpha}{\partial \overline{z}^j} - g^{i \overline{j}} \frac{\partial \vartheta_X}{\partial \overline{z}^j}?$$

Quiero obtener una comprensión clara de todos los cálculos y no quieren simplemente cepillo de cosas.

Answer 1

Pregunta I.

Se desprende de la teoría de Hodge en Kahler colectores, más específicamente de la conmutación de las identidades. Usted puede leer más sobre ellos en el capítulo VI de este libro, pero tenga cuidado - el autor utiliza $d''$$\bar{\partial}$. La identidad específica que se utiliza aquí es $$ \Delta = \frac{1}{2}\Delta, $$ donde $\Delta'' = \bar{\partial}\bar{\partial}^* + \bar{\partial}^*\bar{\partial}$. Ahora si usamos esa identidad en $\alpha$, del lado derecho es cero por harmonicity y a mano izquierda se reduce a $\bar{\partial}\bar{\partial}^*\alpha = 0$, por el hecho de que $\bar{\partial}\alpha =0$ y esto implica que $\bar{\partial}^*\alpha =0$, desde $$ 0 = \int \langle\bar{\parcial}\bar{\partial}^*\alpha,\alpha\rangle = \int \langle\bar{\partial}^*\alpha,\bar{\partial}^*\alpha\rangle = \int \|\bar{\partial}^*\alpha\|^2, $$ a partir de la definición de adjuntos.

Pregunta II. $$ X^i = X^kg_{k\bar{j}}g^{\bar{j}i} = (X^kg_{k\bar{j}})g^{\bar{j}i} = (i_X\omega)_{\bar{j}}g^{\bar{j}i} = (\alpha \bar{\parcial}\vartheta_X)_{\bar{j}}g^{\bar{j}i}. $$ Así que como ves debe ser el $\bar{j}$-ésimo coeficiente de $\alpha$, no la derivada.

La esperanza está claro ahora.