En ESTA RESPUESTA, me mostró que
$$2\sum_{s=1}^{\infty}\frac{1-\beta(2s+1)}{2s+1}=\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)-2+\frac{\pi}{2}$$
donde $\beta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}$ es la Beta de la Función de Dirichlet.
En el desarrollo, se observó que
$$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\log\left(\frac{n+1}{n}\right)&=\log\left(\frac21\cdot \frac23\cdot \frac43\cdot \frac45\cdots\right)\\\\ &=\log\left(\prod_{n=1}^\infty \frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1}\right)\\\\ &=\log\left(\frac{\pi}{2}\right) \tag 1 \end{align}$$
donde solía Wallis del Producto para $\pi/2$.
Si en lugar de ese enfoque, que había utilizado la serie de Taylor para la función logaritmo, a continuación, el análisis se han llevado a
$$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\eta(n)}{n} \tag 2$$
donde $\eta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$ es la de Dirichlet eta función.
Dada la serie en el lado derecho de la $(2)$ como punto de partida, es evidente que simplemente se podía invertir los pasos y llegar a $(1)$.
Pero, ¿cuáles son algunas otras maneras distintas en las que uno puede tomar para evaluar el lado derecho de la $(2)$?
Por ejemplo, uno puede intentar utilizar la representación integral
$$\eta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{1+e^x}\,dx$$
y llegar a
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\eta(n)}{n} =\int_0^\infty \frac{1-e^{-x}}{x(1+e^x)}\,dx =\int_1^\infty \frac{x-1}{x^2(x+1)\log(x)}\,dx \tag 3$$
Sin embargo, ninguna de estas integrales es trivial para evaluar (sin invertir los pasos anteriores).
Y ¿cuáles son algunas otras maneras de manejar las integrales en $(3)$?