¿Hay un$n$ tal que$p|n^2+1$ con$2n<p<2n+\sqrt n$?

Question

Existe un entero $n$ tal que $n^2+1$ es divisible por un primo $p$$2n<p<2n+\sqrt n$?

Es complicado describir mi interés, pero estos están cerca de perder por arco cotangente reducible a números (A002312) que sería un contraejemplo que ciertos tipos de números son equivalentes a esa secuencia.

La probabilidad de que un número aleatorio es divisible por algunos de los mejores en ese rango es de aproximadamente $$ \frac{1}{2\log n\sqrt n} $$ la suma de los que se aparta demasiado rápidamente para explicar la ausencia de ejemplos para $n<10^7.$ (reconozco que estas heurísticas son demasiado áspero para la situación en menos de dos maneras, sino que también ayuda a mostrar que la situación es muy interesante.)

Answer 1

Su intuición es el derecho a sospechar de una expresión algebraica obstáculo para el comportamiento aleatorio de la heurística predice. Supongamos que $k\ge1$ es tal que $2n+k$ divide $n^2+1$. Escrito $n^2+1=(2n+k)d$, podemos ver que $d$ debe ser mayor que $\frac n2-\frac k4$, ya que el $(2n+k)(\frac n2-\frac k4) = n^2-\frac{k^2}4$ es demasiado pequeño. Pero entonces la más pequeña que $d$ puede ser, dado que es un número entero, es $\frac n2-\frac k4+\frac14$. Esto implica que $$ n^2 + 1 = (2n+k)d \ge (2n+k)\big( \tfrac n2-\tfrac k4+\tfrac14 \big) = n^2 + \tfrac n2 + \tfrac k4 - \tfrac{k^2}4, $$ y por lo $(\frac k2-\frac14)^2 = \frac{k^2}4 - \frac k4 + \frac1{16} \ge \frac n2 - \frac{15}{16}$. Llegamos a la conclusión de que $$ (2n+k)\mid (n^2+1) \implica k\ge 2\sqrt{\tfrac n2 - \tfrac{15}{16}} + \tfrac14 \ge \sqrt{2n} $$ (el último, de la desigualdad de la celebración de $n\ge30$). Tenga en cuenta que esto es para todos los divisores, no sólo el primer divisores.