Relación de los polinomios simétricos completos homogéneos y los polinomios simétricos elementales

Question

Estaba leyendo sobre los polinomios simétricos y vi la siguiente relación:

$$\sum _{{i=0}}^{m}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{{m-i}}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0\text{ for } m>0$$

La prueba se construye utilizando una función generadora con respecto a la variable $t$ , en Funciones simétricas y polinomios Hal SEGUNDA EDICIÓN I. G. MACDONALD , página: 21.

( Pregunta ) Me preguntaba si esta relación sigue siendo válida para cualquier longitud $k$ es decir

$$\sum _{{i=0}}^{m}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{{m-i}}(X_{1},\ldots ,X_{k})=0\text{ for }k \in \{1,...,n\}$$

P.D. He probado los casos y vale para cualquier caso.

Answer 1

Tenemos $$h_p(X_1,\ldots,X_n)=\sum h_r(X_1,\ldots,X_k)h_{p-r}(X_{k+1},\ldots,X_n)$$ $$e_p(X_1,\ldots,X_n)=\sum e_r(X_1,\ldots,X_k)e_{p-r}(X_{k+1},\ldots,X_n)$$ $$\sum_{i=0}^m\sum_{p=0}^i\sum_{q=0}^{m-i} (-1)^ie_{i-p}(X_1,\ldots,X_k)h_{(m-p-q) -(i-p) }(X_1,\ldots,X_k)e_p(X_{k+1},\ldots,X_n)h_q(X_{k+1},\ldots,X_n)$$ Si arreglamos $p$ y $q$ Esto sigue sumando $0$ ya que no es más que una instancia de la misma fórmula en menos variables, sustituyendo $i$ con $i-p$ y $m$ con $m-p-q$ . Así, si tomamos $q=0$ y la suma de todos los $p$ obtenemos la fórmula deseada.