¿Cuál es la notación para alternar series con "$\cdots$"?

Question

Sé que la notación no es muy importante, pero tengo curiosidad. Si tengo las siguientes series alternas: $$ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n!} $$ ¿Cuál de las siguientes notaciones es la más correcta (o la ¿Mejor) para representar la serie anterior?

\begin{align} &\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots \tag{1} \\[6pt] &\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\cdots \tag{2} \\[6pt] &\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\pm\cdots \tag{3} \\[6pt] &\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+-\cdots \tag{4} \\[6pt] &\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\cdots \tag{5} \\ \end{align}

Creo que esa es la ecuación $(3)$ , pero no estoy seguro.

Answer 1

Yo usaría $(5)$ o tal vez $(2)$ , pero no creo que sea muy importante. Lo importante es mostrar suficientes términos para que el patrón sea obvio. No confiaría en el signo final para transmitir esa información, por lo que usaría $(5)$ . Creo que $(5)$ es suficiente, pero podría mostrar el próximo término antes de ir a los puntos.

Answer 2

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(2) es el más común. (Vea, por ejemplo, algunos ejemplos en la entrada "Serie de Taylor" de Wikipedia). Siempre que haya incluido suficientes términos para establecer el patrón, está bien. En los casos en que el patrón no sea completamente claro, la notación sigma es la mejor; alternativamente, puede proporcionar este formulario híbrido $$\frac{1}{0!}−\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}−\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}−\cdots+\frac{(−1)^n}{n!}+\cdots$ $