Por lo general, cuando la gente habla sobre la absoluta grupo de Galois Gℚ de ℚ que tener en cuenta dos elementos se puede describir de forma explícita, a saber, la identidad y compleja conjugación (claramente, todo depende de la conjugación), aunque la cardinalidad del grupo es incontable.
Puede usted describir otros elementos de Gℚ?
Ver la última de esta ampliación de la respuesta. Voy a la parte de la empresa con todos los demás y decir que se puede describir otros elementos de $\text{Gal}(\mathbb{Q})$. En otras palabras, yo reclamo que usted pueda identidad de un elemento específico de $\text{Gal}(\mathbb{Q})$ en una amplia gama de formas, junto con un algoritmo para calcular los valores de ese elemento como una función en $\mathbb{Q}$. Usted puede utilizar un modelo sintético de $\overline{\mathbb{Q}}$, o su modelo como un subcampo de la $\mathbb{C}$. Aunque todo esto es factible, lo que no está tan claro es si estos explícito elementos son interesantes.
Las otras dos partes de la respuesta plantean cuestiones interesantes, pero son irrelevante para la pregunta original.
Esta no es exactamente la pregunta, pero está relacionado. Para empezar, es difícil "explícitamente", describen $\overline{\mathbb{Q}}$, excepto como un subcampo de la $\mathbb{C}$. Me encontré con un papel, Algebraicas consecuencias de los axiomas de la determinación (en la traducción del título al inglés), que establece que la $\mathbb{C}$ no tiene ningún tipo de automorfismos otro que el complejo de conjugación en ZF más el axioma de determinación (AD). Así que usted necesita alguna parte del axioma de elección (AC) para esta cuestión.
Como para los más pequeños de campo $\overline{\mathbb{Q}}$, la página de Wikipedia para el teorema fundamental del álgebra sugiere que incluso podría no ser capaz de construir, en primer lugar, sin el axioma de contables elección. (Digo "sugiere" porque no estoy completamente seguro de que eso es un teorema. Tenga en cuenta que AC y AD ambos implican contables opción, incluso a pesar de que son enemigos axiomas.) Cualquier construcción con contables elección no está realmente "explícito". Por otro lado, si usted permite contables elección, entonces sospecho que usted puede construir $\overline{\mathbb{Q}}$ sintéticamente por inducción en lugar de como un subcampo de la $\mathbb{C}$, y que puede generar muchos automorfismos de que a medida que avanza.
Así, las preguntas para los lógicos, es si hay un universo de más de ZF en el que $\overline{\mathbb{Q}}$ no existe, o un universo en el que existe pero no tiene automorfismos.
Recibí un correo electrónico sobre esta de Kevin Buitre que me hizo mirar de nuevo en el papel que hace referencia la Wikipedia, Una débil contables principio de elección por los Puentes, Richman, y Schuster. De acuerdo a este documento, la vida es muy extraña sin contable elección. Quieres hacer los números reales como la métrica de la finalización de los racionales. Sin embargo, hay una diferencia entre las secuencias de Cauchy y lo que ellos llaman "modulada" secuencias, que son secuencias de racionales con una prometido tasa de convergencia. Citan un resultado de Ruitenberg que el modulada números complejos son algebraicamente cerrado en ZF. Por lo tanto $\mathbb{Q}$ ha algebraica de cierre en ZF.
Pero aún así parece posible que sin contable elección algebraicas de los cierres de $\mathbb{Q}$ no necesitan ser únicos hasta el isomorfismo, y que el complejo modelo de análisis de $\overline{\mathbb{Q}}$ podría no tener los automorfismos otro que el complejo de la conjugación.
Una mejor y espero técnico final respuesta: Como se ha mencionado, $\overline{\mathbb{Q}}$ existe de manera explícita (en sólo ZF) como un subcampo de la $\mathbb{C}$. Usted también puede construir sintéticamente de la siguiente manera: Considere el monic Galois polinomios sobre $\mathbb{Z}$. Estos son los polinomios tales que el grupo de Galois actúa libremente transitivamente sobre las raíces; equivalentemente, la división de campo se obtiene por contiguo sólo una raíz. El Galois polinomios puede ser escrito en un número finito de la notación y se enumeran. Comienzan con $\mathbb{Q}$, formalmente adhieren a raíz de $p_n(x)$, $n$th monic Galois polinomio, para cada una de las $n$ en turno. Si $p_n(x)$ factores en el campo construido hasta el momento, los factores que también puede ser expresado en un número finito de notación; tomar el primer factor irreducible. El resultado es un explícito, sintéticamente construido $\overline{\mathbb{Q}}$.
Para la comparación, vamos a $\widetilde{\mathbb{Q}}$ ser el algebraicas cierre de $\mathbb{Q}$$\mathbb{C}$. Cada elemento de es computable: Su dígitos pueden ser generados por un algoritmo, incluso con un explícito vinculado en su tiempo de funcionamiento. Como construimos $\overline{\mathbb{Q}}$, también podemos establecer un isomorfismo entre el $\widetilde{\mathbb{Q}}$. Podemos hacer esto mediante el envío de la formal raíz de $p_n(x)$ a su primera raíz en $\mathbb{C}$, el uso de algunos conveniente ordenar en $\mathbb{C}$. O podríamos haber utilizado su última raíz, su segunda raíz, si tiene uno, etc. Componer estas muchas isomorphisms entre el $\overline{\mathbb{Q}}$ $\widetilde{\mathbb{Q}}$ da muchas campo de automorfismos.
Leila Schneps afirma que uno no puede escribir cualquier otro elemento.
Ver a su papel en La Grothendieck teoría de dessins d'enfants. Ponencias de la Conferencia en Dessins d'Enfant celebrada en Luminy, 19 de abril--24, 1993. Editado por Leila Schneps. Sociedad Matemática De Londres Conferencia Nota De La Serie, 200. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. Creo que http://www.aimath.org/WWN/motivesdessins/schneps1.pdf es más o menos el mismo.
No sé de otros elementos, pero sólo quiero señalar que es difícil describir explícitamente "los elementos de la $\text{Gal}~\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$"; véase, por ejemplo, esta respuesta para una más clara explicación de lo que yo podía ofrecer.
Esto es análogo a la compleja conjugación:
Vamos K ser un ámbito local, es decir, de un número finito de extensión de ℚp, para algunos p. Luego de su grupo de Galois GK es finitely presentados (Ver "Cohomology de los campos de número" de Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, y Kay Wingberg). A continuación, sus generadores son en un sentido explícito de los elementos de Gℚ.
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