¿Los mapas entre grupos fundamentales inducen un mapa continuo entre espacios?

Question

La pregunta principal es ésta: Supongamos que $M$ es un colector y $G$ es un grupo finito. Si existe un homomorfismo de grupo $\phi:\pi_1 M\to G$ ¿existe un mapa continuo $f:M\to BG$ , donde $BG$ ¿es un espacio clasificatorio?

Se puede generalizar esta cuestión para preguntar si el functor $\pi_1$ está lleno, pero creo que es demasiado bueno para ser verdad.

Esta pregunta surge del siguiente contexto. Cuando estaba leyendo algún artículo, leí que existe una biyección entre la clase de isomorfismo de principal $G$ -bundles over $M$ y la clase de homotopía de los mapas de $M$ a $BG$ . Quería verificar esto, así que descubrí que (1) si dos mapas $f,g:M\to BG$ están en la misma clase de homotopía, $f_*, g_*:\pi_1 M\to G$ son conjugados, (2) un mapa $M\to BG$ induce un principal $G$ -que es un retroceso de $EG\to BG$ (3) si $f_*, g_*$ están en la misma clase de conjugación, el principal $G$ -inducidos por cada uno de ellos son isomorfos entre sí, donde el isomorfismo es $p\mapsto hph^{-1}$ donde $hf_*h^{-1}=g$ y (4) un director $G$ -bundle $N\to M$ induce un homomorfismo de grupo $\pi_1(M)\to G$ ya que todos los bucles de $M$ induce una $G$ -acción sobre $M$ . Puedo deducir que la clase de homotopía de los mapas de $M$ a $BG$ da una clase de isomorfismo de principal $G$ -bundles over $M$ pero estoy atascado en la afirmación contraria. Creo que es suficiente para demostrar que $\pi_1(M)\to M$ da un mapa continuo $M\to BG$ y supongo que hay algo con la clasificación del espacio.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, ese mapa $f$ existe. De hecho, existe incluso cuando $M$ es un complejo CW (y toda variedad suave tiene una estructura de complejo CW) y cuando $G$ es un grupo arbitrario (no sólo un grupo finito).

La prueba es un argumento directo de la teoría de la obstrucción. Primero se elige un árbol máximo en el esqueleto 1 de $M$ y mapear eso al punto base de $BG$ . A continuación, cada célula remanente de 1 en $M$ representa un elemento de $\pi_1(M)$ , asigna esa arista a un bucle en $BG$ representando el $\phi$ imagen de ese elemento. Ahora se extiende sobre el 2-esqueleto: la frontera de cada 2-célula representa el elemento trivial de $\pi_1(M)$ por lo que el bucle de la imagen representa el elemento trivial de $\pi_1(BG)$ para poder extender el mapa de forma continua sobre esa 2 celda. Ahora induzca las dimensiones: asumiendo que el mapa está definido en la $n$ -esqueleto para $n \ge 2$ para cada $n+1$ la restricción del mapa a la frontera de esa celda es homotópicamente trivial, porque $\pi_n(BG)$ es trivial, por lo que el mapa puede extenderse de forma continua sobre todo el $n+1$ celda.