Base suave de$L^2$ con derivados controlados uniformemente

Question

Hay una base $\{f_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ de $L^2[0,1]$, donde cada una de las $f_i$ es suave y la segunda derivada de $f_i$ es uniformemente acotada en $i$?

Pensamientos: tengo una vaga sensación de que la existencia de esta base pueden hacer imposible a la aproximación de ciertas funciones en $L^2[0,1]$ , con una rápida variación. Sin embargo, no soy capaz de dar una rigurosa prueba de ello (o dar un ejemplo de una base si existe).

Answer 1

No. Supongamos $(f_j)$ es una base ortonormales.

Nota: primero que si $f\in L^2$ entonces $||f||_2^2=\sum|\langle f, f_j\rangle|^2$, por lo tanto $$\lim_{j\to\infty}\langle f,f_j\rangle=0.$$Setting $f(t)=e^{2\pi int}$ gives $$\lim_{j\to\infty}\widehat{f_j}(n)=0\quad(n\in\Bbb Z),$$and now since $\sum_n|\widehat{f_j}(n)|^2=||f_j||_2^2=1$ it follows that for every $N$ we have $$\lim_{j\to\infty}\sum_{|n|>N}|\widehat{f_j}(n)|^2=1.$$This implies that $$\lim_{j\to\infty}\sum_{n\in\Bbb Z}n^4|\widehat{f_j}(n)|^2=\infty.$$ Pero si $f$ es suave, a continuación, $\sum_{n\in\Bbb Z}n^4|\widehat{f_j}(n)|^2=c||f_j''||_2^2$ para algunos irrelevante constante $c$. Por lo $$||f_j''||_\infty\ge||f_j''||_2\to\infty.$$

De hecho, el mismo es si $(f_j)$ es sólo un infinito ortonormales conjunto (es decir, que todas las obras sin asumir que las combinaciones lineales de las $f_j$ son densos). El único lugar donde hemos utilizado el hecho de que la $f_j$ span $L^2$ fue en $||f||_2^2=\sum|\langle f, f_j\rangle|^2$, y para cualquier ortonormales conjunto todavía tenemos $||f||_2^2\ge\sum|\langle f, f_j\rangle|^2$.

(Y por supuesto, el mismo argumento muestra que, de hecho, $||f_j'||_\infty\to\infty$, sin necesidad de acudir a la segunda derivada..)