La integral de una función multiplicada por una función no acotada converge si el producto es una función acotada

Question

Supongamos que $f:[1,\infty]\rightarrow \mathbb{R}$ es tal que $g(x):=x^2f(x)$ es una función acotada. Demostrar que $\int_1^\infty f$ converge.

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Intuitivamente me parece razonable. Como $x^2$ es creciente y sin límites por encima, $f(x)$ debe ser una función decreciente con mayor pendiente absoluta que $x^2$ así como $g(x)$ puede ser acotado. No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Dejemos que $|g(x)|\le M$ (se supone que está acotado). Entonces $|f(x)|\le \frac{M}{x^2}$ así que $\int_1^\infty|f(x)|dx\le M\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=M$ . Por lo tanto, $f(x)$ es integrable.