Necesito ayuda para computar$\int {\ln x\over 2-x}\, dx$

Question

Mientras que la integración de $\ln(\sec x)$, en un momento me las arreglé para romper la integral en dos. Pero yo no era capaz de integrar una de esas partes.

La integral estoy teniendo dificultad con es:

$$\int {\ln x\over 2-x}\,dx$$

Soy consciente del hecho de que esta integral no puede ser expresado con funciones elementales. De hecho, mi conjetura es que la respuesta debe contener un dilogarithm plazo.

Que se han integrado funciones similares y utilizan el dilogarithm (o incluso trilogarithm una vez), pero en este caso, no tengo idea de cómo llegar en la solución de esta integral.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Si el cable de alimentación de la serie para la dilogarithm función es fácil de reconocer, $$ \begin{align} \int\frac{\log(x)}{2-x}\,\mathrm{d}x &=-\int\frac{\log(2-y)}y\,\mathrm{d}y\tag1\\ &=-\log(2)\log(y)-\int\frac{\log\left(1-\frac y2\right)}y\,\mathrm{d}y\tag2\\ &=-\log(2)\log(y)+\int\sum_{k=1}^\infty\frac{y^{k-1}}{k2^k}\,\mathrm{d}y\tag3\\ &=-\log(2)\log(y)+\sum_{k=1}^\infty\frac{y^k}{k^22^k}+C\tag4\\[3pt] &=-\log(2)\log(y)+\operatorname{Li}_2\left(\frac y2\right)+C\tag5\\[6pt] &=-\log(2)\log(2-x)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{2-x}2\right)+C\tag6 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: sustituto $x=2-y$
$(2)$: tire $-\int\frac{\log(2)}y\,\mathrm{d}y$ frente
$(3)$: aplicar la serie de $\log\left(1-\frac y2\right)$
$(4)$: integrar la serie, término por término
$(5)$: reconocer el poder de la serie para $\operatorname{Li}_2$
$(6)$: deshacer la sustitución de $(1)$