Usar la regla de la cadena para adivinar la derivada de$\frac{1}{x}$

Question

Así me enteré de que usted puede utilizar la regla del producto para adivinar lo que el derivado de la $\frac{1}{x}$ debe ser, que acaba de utilizar el hecho de que $(\frac{1}{x}\cdot x) = 1$ y diferenciar ambos lados y resolver para $(\frac{1}{x})'$. Mi maestro dijo que hay un truco similar para adivinar la derivada de $(\frac{1}{x})$ utilizando la regla de la cadena, he intentado utilizar el hecho de que $\frac{1}{x}\circ\frac{1}{x}= x$ pero estoy atascado.

Answer 1

$$f(x)=\frac1x$ $ $$\log \circ \,\,f=-\log x$ $ $$(\log \circ \,\,f)'=(-\log x)'$ $ $$f'\frac 1f=-\frac1x$ $ $$f'=-\frac fx=-\frac 1{x^2}$ $

Answer 2

Esto funciona, pero no estoy seguro de si es permitido. Depende de si usted sabe que la derivada de $\log$.

Para cualquier número real positivo $x$, establezca $f(x)=\dfrac 1 x, g(x)=\log(x)$ e $h(x)=-\log(x)$. Tenga en cuenta que $g\circ f=h$ y

$$ \begin{align} (g\circ f)(x) = h(x) &\implies g'(f(x))f'(x)=h'(x)\\ &\implies f'(x) = h'(x)/g'(f(x))\\ &\implies f'(x)=-\log'(x)/\log'\left(1/x\right)\\ &\implies f'(x) = -\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{1/x}}\\ &\implies f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \end{align} $$

El punto crucial aquí es que $g'=f^{-1}$. No a diferencia de lo que hice aquí.