Suma y sigue en $3\times 3$ tabla

Question

A $3\times 3$ se rellena con números reales no negativos para que cada fila sume $1$ . Un subconjunto de células se llama admisible si tiene tamaño $3$ y las tres celdas se encuentran en diferentes filas y columnas. Para cada conjunto admisible $A$ , dejemos que $s(A)$ sea la suma de los números de las tres celdas y $m(A)$ sea el mínimo de esos números.

Debe haber un conjunto admisible $A$ con $s(A)\geq 1$ . (Basta con tomar tres conjuntos admisibles disjuntos; como la suma total es $3$ un conjunto debe tener la suma de al menos $1$ .) ¿Es cierto que siempre hay un conjunto admisible $A$ tal que $s(A)\geq 1$ y $m(A)$ es el más alto entre todos los conjuntos admisibles?

Answer 1

Sí, es cierto. Tome $A$ para ser un conjunto admisible que logre el mayor $m(A),$ pero con esa condición, con el mínimo número de celdas alcanzable igual a $m(A).$ (Así que preferimos que una entrada sea igual a $m(A)$ en lugar de dos).

Sin pérdida de generalidad, $A$ es el conjunto de celdas diagonales, y el $(1,1)$ La célula es $m(A).$ Considere qué células no están en $A$ pero son estrictamente mayores que $m(A).$ Llama a estos "aumentos".

Si hay una fila sin celdas de aumento, el elemento de $A$ en esa fila es al menos $1-2m(A),$ que da $s(A)\geq 1.$ Así que hemos terminado a menos que cada fila tenga una celda de aumento.

Si el $(2,1)$ y $(3,1)$ células no están aumentando, entonces el total de las células en el $(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)$ posiciones es al menos $2-2m(A).$ Por lo tanto, cualquiera de $\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$ o $\{(1,1),(2,3),(3,2)\}$ tiene la suma de al menos $1,$ y por el párrafo anterior ambos tienen un mínimo de $m(A),$ así que hemos terminado.

El caso restante es que uno de los $(2,1)$ o $(3,1)$ células está aumentando. Alguna celda de la primera fila también está aumentando. Si $(1,2)$ y $(2,1)$ están aumentando entonces el conjunto $(1,2),(2,1),(3,3)$ es un conjunto admisible que contradice la elección de $A$ - tiene un mínimo mayor o el mismo mínimo pero con menos elementos que alcanzan el mínimo. Del mismo modo, hemos terminado si $(1,3)$ y $(3,1)$ están aumentando. De lo contrario, wlog $(2,1),(1,3)$ están aumentando y $(3,1),(1,2)$ no lo son (el otro caso sólo intercambia $2$ y $3$ ). Entonces $(3,2)$ debe estar aumentando porque es la única celda que queda en la tercera fila, por lo que $(2,1),(1,3),(3,2)$ forma un conjunto admisible con un mínimo superior.