Grupo fundamental de espacio incontable con topología cofinita.

Question

Por lo tanto, es fácil mostrar que dicho espacio está conectado a la ruta (suponiendo que CH, los mapas inyectivos $f:I \rightarrow X$ son continuos) pero no estoy seguro de cómo comenzar a calcular el grupo fundamental. ¿Dependerá de la cardinalidad?

Gracias

Answer 1

Asumiendo $|X|\geq 2^{\aleph_0}$, a continuación, $X$ es contráctiles por lo que su grupo fundamental es trivial. Para probar esto, deje $f:X\times(0,1)\to X$ inyección (aquí utilizamos el hecho de que $|X|\geq 2^{\aleph_0}$). Definir $H:X\times[0,1]\to X$ por $H(x,0)=x$, $H(x,1)=x_0$ para algunos de punto fijo $x_0\in X$, e $H(x,t)=f(x,t)$ si $t\in (0,1)$.

Puedo reclamar $H$ es continua, y por lo tanto una contracción de $X$. Para demostrar esto, basta para mostrar $H^{-1}(\{x\})$ es cerrado para cada una de las $x\in X$. Si $x\neq x_0$, a continuación, $H^{-1}(\{x\})=\{(x,0)\}\cup f^{-1}(\{x\})$ que es un conjunto finito y, por tanto, cerrada. Si $x=x_0$, luego tenemos a $H^{-1}(\{x_\})=\{(x_0,0)\}\cup f^{-1}(\{x_0\})\cup X\times\{1\}$ que es una unión finita de conjuntos y el conjunto cerrado $X\times\{1\}$ y por lo tanto también cerrado. Por lo tanto $H$ es continua, y $X$ es contráctiles.

Ver ¿Qué es la homotopy tipo de espacio afín en la topología de Zariski..? para una interesante generalización de este argumento, algunos relacionados con los espacios que surgen naturalmente en la geometría algebraica (a pesar de sus fundmental grupos no surgen naturalmente!).

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Si usted no asume $|X|\geq 2^{\aleph_0}$ (ó CH), entonces no sé lo que puede decirse en general. Es consistente para $X$ totalmente de ruta-desconectado si $|X|<2^{\aleph_0}$ (ver https://mathoverflow.net/a/48991/75) y para el grupo fundamental con cualquier punto de base todavía será trivial. Pero si $|X|<2^{\aleph_0}$ e $X$ no es totalmente ruta-desconectado, no sé qué se puede decir acerca de su grupo fundamental.