Si , entonces .

Question

Deje $T=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ ser un no-escalar de la matriz.

Si $S=\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}$ ser tal que $TS=ST$. ¿Por qué existe $\alpha,\beta\in \mathbb{C}$ tales que $$S=\alpha T+\beta I\;?$$

Tenga en cuenta que $TS-ST=0$ es equivalente a

$$\begin{bmatrix}bg-fc & af+bh-eb-fd\\ ce+dg-ga-hc & fc-bg\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$$ Esto implica que $$\begin{cases} bg-fc = 0,\\ af+bh-eb-fd = 0,\\ ce+dg-ga-hc = 0,\\ fc-bg = 0. \end{casos}$$ Desde $T$ no es escalar, a continuación, $b\neq 0$ o $c\neq 0$ o $a\neq d$. Sin embargo, no puedo encontrar a $\alpha$ e $\beta$.

Answer 1

EDIT. Suponemos que $T\in M_2(K)$, donde $K$es un campo. $C(T)=\{S\in M_2(K);TS=ST\}$ es un espacio vectorial que contiene a$\{I,T\}$, que son linealmente independientes, entonces es suficiente para mostrar que $dim(C(A))\leq 2$, es decir, las entradas de esta matriz $S=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ dependen en la mayoría de los en $2$ parámetros.

$\textbf{Proof}$. Hay un vector $u$ s.t. $\{u,Tu\}$ es una base de $K^2$; de lo contrario, deje $v,w$ ser una base de $K^2$; una se $Tv=av,Tw=bw,T(v+w)=c(v+w)$, lo que implica que $T=aI$, una contradicción.

En base a $\{u,Tu\}$, $T$ hace $\begin{pmatrix}0&a\\1&b\end{pmatrix}$ y

$(TS)_{1,1}=(ST)_{1,1},(TS)_{2,1}=(ST)_{2,1}$ fib

$q=ar,p=-br+s$; por último, las entradas de $S$ dependen en la mayoría de las $2$ parámetros de $r,s$ y hemos terminado.