El problema me parece realmente imposible, a pesar de resolver muchos problemas en triángulos. Así que espero que puedas resolverlo. 
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cr001
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Desafortunadamente, algunos análisis de casos y la contradicción de las cosas que se debe hacer y yo no era capaz de llegar a cualquier agradable y limpio.
Primero crear triángulo $ACG$ congruente a $ABC$ y etiqueta $F$ , como se muestra en la imagen. Espejo de $D$ a lo largo del eje $AC$ a punto de $P$. Conectar puntos necesarios como se muestra en la imagen.
En el trapecio $ADCG$, triángulos $ACG$ e $DGC$ son simétricas, de modo congruente así. Por lo $DGC$ es también un triángulo congruente a $ABC$ donde el ángulo de $\angle DGC=x$
Al mismo tiempo, $PA = AD = EC, AG = CD, \angle PAG = 90 - {x\over 2} - x = \angle ECD \implies \triangle PAG \cong \triangle ECD$.
Además, es fácil ver $DE=PG$ e $\triangle DEG \cong \triangle GPC$.
Ahora vamos a $\angle GDE = \angle CGP = a$.
Con un cierto ángulo de seguimiento (con el conocido congruencias cada ángulo puede ser expresada en términos de x), $a = 40 - {x\over 2}$, e $\angle DEP = 280 - 3x$.
Caso $1$: $EP$ no es paralelo a $DG$ y se cruzan $DG$ sobre la extensión de rayos de $D$ a $G$. Esto quiere decir $\angle GDE + \angle DEP < 180$ lo que significa que $320 - {7x\over 2} < 180$ lo $x > 40$ e $a < 20$.
Por lo tanto, $\angle DGP = x - a > 20 > a = \angle GDE$. Sin embargo, desde $DE = PG$ e $\angle DGP > \angle GDE$, $P$ tendría una distancia mayor a $DG$ e $E$ e $PE$ se cruzarían $GD$ sobre la extensión de rayos de $G$ a $D$. contradicción.
Caso $2$: $EP$ no es paralelo a $DG$ y se cruzan $GD$ sobre la extensión de rayos de $G$ a $D$. Esto quiere decir $\angle GDE + \angle DEP > 180$ lo que significa que $320 - {7x\over 2} > 180$ lo $x < 40$ e $a > 20$. Toda cosa similar, y podemos concluir $\angle GDE > \angle DGP$ lo $EP$ debe intersectar $DG$ sobre la extensión de $D$ a $G$. contradicción.
Por lo $EP$ debe ser paralela a $DG$ e $320 - {7x\over 2} = 180$ e $x=40$.
ILIV
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Con las notaciones de la figura :
$X=\widehat{BAC}$
$\beta=\widehat{CBA}=\frac{\pi-X}{2}$
$\gamma=\widehat{DCB}=\pi-2\beta=X$
$\delta=\widehat{ACD}=\beta-\gamma=\frac{\pi-3X}{2}$
Sin perdida de generalidad, vamos a $BC=1$
$BD=AE=2\cos(\beta)=2\sin(\frac{X}{2})$
$BA=\frac{1}{2\cos(\beta)}=\frac{1}{2\sin(\frac{X}{2})}$
$CE=DA=BA-BD=\frac{1}{2\sin(\frac{X}{2})}-2\sin(\frac{X}{2})$
$EH=CE\sin(\delta)= (\frac{1}{2\sin(\frac{X}{2})}-2\sin(\frac{X}{2})) \cos(\frac{3X}{2})$
$CH=CE\cos(\delta)= (\frac{1}{2\sin(\frac{X}{2})}-2\sin(\frac{X}{2}))\sin(\frac{3X}{2})$
$HD=CD-CH=1-\frac{\sin(\frac{3X}{2} )}{2\sin(\frac{X}{2})}+2\sin(\frac{X}{2})\sin(\frac{3X}{2})$
$\tan(Y)=\tan(\widehat{CDE})=\frac{EH}{HD}=\frac{(\frac{1}{2\sin(\frac{X}{2})}-2\sin(\frac{X}{2})) \cos(\frac{3X}{2})}{ 1-\frac{\sin(\frac{3X}{2} )}{2\sin(\frac{X}{2})}+2\sin(\frac{X}{2})\sin(\frac{3X}{2}) }$
La relación entre los ángulos $X$ e $Y$ es : $$\tan(Y)=\frac{(1-4\sin^2(\frac{X}{2})) \cos(\frac{3X}{2})}{2\sin(\frac{X}{2}) -\sin(\frac{3X}{2} )+4\sin^2(\frac{X}{2})\sin(\frac{3X}{2}) } $$
$$\cot(Y)=\frac{2\sin(\frac{X}{2}) } {(1-4\sin^2(\frac{X}{2})) \cos(\frac{3X}{2})} -\tan(\frac{3X}{2}) \tag 1$$
La función de $Y(X)$ está representado en la siguiente figura.
Por ejemplo, si fijamos $X=\pi\frac{40}{180}$ que es un ángulo de $40°$ , el resultado numérico es : $$Y\simeq 0.872664625997165\quad\to\quad 180\frac{Y}{\pi}\simeq 50.00000000000003$$
Por lo tanto, de cálculo numérico, en $Y=50°$ corresponde a$X=40°$ con una muy buena precisión.
Analíticamente uno tiene que demostrar que la ecuación de $(1)$ devuelve exactamente $Y=\pi\frac{50}{180}$ para $X=\pi\frac{40}{180}$ .
Considere la función : $$f(X,Y)=\frac{2\sin(\frac{X}{2}) } {(1-4\sin^2(\frac{X}{2})) \cos(\frac{3X}{2})} -\tan(\frac{3X}{2}) -\cot(Y) $$
tenemos que probar que esta función es $=0$ cuando $Y=\pi\frac{50}{180}$ e $X=\pi\frac{40}{180}$
$$f(\frac{2\pi}{9},\frac{5\pi}{18}) =\frac{2\sin(\frac{\pi}{9}) } {(1-4\sin^2(\frac{\pi}{9})) \cos(\frac{\pi}{3})} -\tan(\frac{\pi}{3}) -\cot(\frac{5\pi}{18}) $$
$$f((\frac{2\pi}{9},\frac{5\pi}{18}) =\frac{4\sin(\frac{\pi}{9}) } {(1-4\sin^2(\frac{\pi}{9}))} -\sqrt{3} -\cot(\frac{5\pi}{18}) $$
Deje $s=\sin(\frac{\pi}{18})$
$\sin(\frac{\pi}{9})=2s\sqrt{1-s^2}$
$\cos(\frac{5\pi}{18})= (16s^4-12s^2+1)\sqrt{1-s^2}$
$\sin(\frac{5\pi}{18})=(16s^5-20s^3+5s)$
$$f(\frac{2\pi}{9},\frac{5\pi}{18}) =\frac{8s\sqrt{1-s^2} } {1-4(2s\sqrt{1-s^2})^2} -\sqrt{3} -\frac {(16s^4-12s^2+1)\sqrt{1-s^2}}{16s^5-20s^3+5s} $$
De hecho, tenemos que comprobar si una de las raíces de la ecuación : $$\frac{8s\sqrt{1-s^2} } {1-4(2s\sqrt{1-s^2})^2} -\sqrt{3} -\frac {(16s^4-12s^2+1)\sqrt{1-s^2}}{16s^5-20s^3+5s}=0 \tag 2$$ es igual a $\sin(\frac{\pi}{18})$ .
La expansión y factorización transformar la ecuación : $$(8s^3-6s-1)(8s^3-6s+1)(4096s^{12}-13312s^{10}+16128s^8-8832s^6+2096s^4-176s^2+1)=0$$
Para $s=\sin(\frac{\pi}{18})$ los polinomios $8s^3-6s+1\neq 0$ e $4096s^{12}-13312s^{10}+16128s^8-8832s^6+2096s^4-176s^2+1\neq 0$ .
Sólo la ecuación : $$8s^3-6s+1=0$$ es probable que tenga una raíz en torno a $\sin(\frac{\pi}{18})$. Entonces tenemos que demostrar que no es el caso.
Ponemos en la ecuación de $s=\sin(\frac{\pi}{18})=\frac{\exp(i\frac{\pi}{18})-\exp(-i\frac{\pi}{18})}{2i}$ $$8s^3-6s+1=8\left(\frac{\exp(i\frac{\pi}{18})-\exp(-i\frac{\pi}{18})}{2i} \right)^3-6\left(\frac{\exp(i\frac{\pi}{18})-\exp(-i\frac{\pi}{18})}{2i} \right)+1$$ Después de la expansión y de la simplificación de todos los términos cancelar. Obtenemos : $8s^3-6s+1=0$ .
Por lo tanto $s=\sin(\frac{\pi}{18})$ es una raíz de la ecuación ( $(2)$ y, como consecuencia, $f(\frac{2\pi}{9},\frac{5\pi}{18}) =0$ ,
Esta es la prueba analítica que $X=40°$ e $Y=50°$ es una solución exacta.
Dhvanit
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Aquí es una síntesis de la solución.
Deje $\angle BAC = x$ e $\angle DCE = y$ Ahora, $\angle ABC = 60 + \frac{y}{3}$. Si demostramos $y= 30$, la prueba sería completa. Deje $BC = a$ Tenga en cuenta que $$BD = 2a \cos ({60 +\frac{y}{3}})$$ y desde $AB= \frac {a}{2\cos ({60 + \frac{y}{3}})}$, se puede calcular después de la simplificación y el uso de la propiedad :$\frac {4\cos^2 t -1}{2\cos t} = \frac {3- 4\sin^2 t}{2\cos t}= \frac {\sin 3t}{\sin 2t}$ $$\frac {AD}{a} = \frac {\sin y}{\cos ({30 + \frac {2y}{3}})}$$ Por la regla del seno en $\Delta DEC$, y utilizando el resultado anterior,
$$\sin{y}\sin({y+50})= \sin{50}\cos({30+\frac{2y}{3}})$$
Y así,
$$2\sin{y}\sin({y+50})= 2\sin{50}\cos({30+\frac{2y}{3}})$$
si $y=30$, entonces esta ecuación se cumple debido a la RHS se vuelve $\sin 100$ y LHS vuelve $\sin 80$ y que, obviamente, son iguales. Por lo tanto, $x=40$
Nota: A ver que la ecuación no tiene otras soluciones de $y=30$, sugiero el uso de Wolfram Alpha.
