Entendiendo por qué el autor eligió el número que hizo en esta prueba de que existe$\sqrt 2$

Question

Estoy leyendo una prueba de la existencia de $\sqrt 2$. La primera mitad de la prueba es como sigue:

Consideremos el conjunto a$T = \{t \in \mathbb{R} : t^2 \lt 2\}$. Deje $\alpha = \sup T$.

Caso 1: se Muestran las $\alpha^2 \lt 2$ es imposible por lo que implica $\alpha$ no es una cota superior para $T$.

Queremos encontrar un elemento que es mayor que $\alpha$. Así

$(\alpha + \frac{1}{n})^2 = \alpha^2 + \frac{2 \alpha}{n} + \frac{1}{n^2}$

$\lt \alpha^2 + \frac{2 \alpha}{n} + \frac{1}{n} = \alpha^2 + \frac{2 \alpha + 1}{n}$

El autor afirma:

Pero ahora suponiendo $\alpha^2 < 2$ nos da un poco de espacio en el que quepa la $\frac{(2 \alpha + 1)}{n}$ plazo y mantener el total de menos de 2. Específicamente, elija $n_0 \in \mathbb{N}$ lo suficientemente grande como para que

$ \frac{1}{n_0} \lt \frac{(2 - \alpha^2)}{2 \alpha + 1}$

Aquí es donde me pierdo en la prueba. Entiendo que su objetivo con esto es que en el fin de preservar $a^2 \lt 2$ debe ser en el caso de que la diferencia de $2 - \alpha^2$ debe ser de una fracción que no empuje $a^2$ fuera de $2$. Es decir, los "extras" que se añadirá a $\alpha^2$ aquí no puede empujar en nuestros supone obligado.

La confusión para mí es la comprensión de cómo se construye $ \frac{1}{n_0} \lt \frac{(2 - \alpha^2)}{2 \alpha + 1}$ a partir de la suposición de $\alpha^2 < 2$. Yo había pensado inicialmente reorganizó la desigualdad, de manera que $0 < 2 -\alpha^2$, pero esto no es correcto.

¿Qué fue exactamente lo que él uso para elegir este? Eché un vistazo en el manual de la solución y que él realmente no describe la metodología no sea. Parece arbitrario, beneficioso para el problema. No estoy exactamente seguro de cómo es construido a partir de la supuesta desigualdad.

Answer 1

Esto es solo objetivo-orientado a trabajar: El autor quiere $$\tag1\left(\alpha+\frac1n\right)^2<2.$$ Equivalentemente, $$\alpha^2+\frac{2\alpha}n+\frac1{n^2}<2. $$ Reorganizar a $$\frac{2\alpha}n+\frac1{n^2}<2-\alpha^2. $$ Esto se ve prometedor, porque, por supuesto, el lado derecho es positivo y sólo tenemos que encontrar la $n$ que hace la izquierda (y positivo) lo suficientemente pequeño. Como $\frac1n\le\frac1{n^2}$, que con valentía se puede fortalecer la tarea de encontrar a$n$ que hace (aún) $$\frac{2\alpha}n+\frac1{n}<2-\alpha^2. $$ (La ventaja de esto es que la dependencia de la $n$ es ahora mucho más simple con la parte cuadrada).

Ahora multiplique con el polo positivo(!) $n$ $$ 2\alpha+1<(2-\alpha^2)n$$ y dividir por el positivo(!) $2-\alpha^2$ , para llegar a $$ \frac{2\alpha+1}{2-\alpha^2}<n$$ como suficiente (y fácilmente cumplida la condición para $n$ hacer $(1)$ verdadero.

Answer 2

El autor está tratando de decir que existe un $n_0$ #% st $\alpha^2 + \frac{2 \alpha + 1}{n_0} < 2$ suficientemente grande, que

$\iff \frac{2 \alpha + 1}{n_0} < 2-\alpha^2$

$\iff \frac{2 \alpha + 1}{n_0} < 2-\alpha^2$

$\iff \frac{1}{n_0} < \frac{2-\alpha^2}{2\alpha-1}$

Answer 3

La idea es la siguiente. Suponga que $\alpha^2+\frac{2\alpha +1}{n} \lt 2$ y reorganizar para $1/n$. ¿Qué se obtiene? $\frac{1}{n} \lt \frac{2-\alpha^2}{2\alpha+1} $. Ahora, esto no prueban nada, pero nos da una idea de cómo solucionar el problema. Esta desigualdad ciertamente válida para algún n, y la razón es que debido a la propiedad de Arquímedes. Así, uno puede elegir un apropiado tal n, y a partir de ahí, hemos demostrado que para algunos n, $\alpha^2+\frac{2\alpha +1}{n} \lt 2$ sostiene. Ahora, que dar marcha atrás, para llegar a esa particular de n que usted ha elegido, $(\alpha + \frac{1}{n} )^2 \lt 2$ . De nuevo, quiero enfatizar que esta desigualdad no se cumple para todo n, pero el hecho de que hemos encontrado algo de n que satisface $(\alpha + \frac{1}{n} )^2 \lt 2$ es suficiente, porque esto demuestra que el Caso 1 es verdadera: una $\alpha$ tal que $\alpha^2 \lt 2$ no puede ser una cota superior para T.