Recientemente tuve la oportunidad de encontrar un resultado común de la integral definida: \begin{equation} J(n_1, k_1, m_1) = \int_0^{\infty} \frac{x^{k_1}}{\left(x^{n_1} + a_1 \right)^{m_1}}\:dx = \frac{a^{\frac{k_1 + 1}{n_1} - m_1}}{n_1}\Gamma\left(m_1 - \frac{k_1 + 1}{n_1}\right)\Gamma\left(\frac{k_1 + 1}{n_1}\right) \end{equation} La ventaja con esta integral es que si se puede introducir un parámetro libre en su integral (ala de Feynman del Truco), a continuación, en virtud de una determinada transformación, mediante el parámetro (es decir, los derivados, la transformada de Laplace, Fourier Transforma) que puede aislar el parámetro. Esto hace que la toma de la inversa de la transformación bastante fácil en la mayoría de los casos.
Estoy esperando ampliar este método para atender a las más difíciles integrales donde varios parámetros son introducidos. Al hacerlo, he llegado esta muy similares, pero mucho más complicado de lo integral.
\begin{equation} H\left(a_1, a_2,n_1,n_2,k_1,k_2,m_1,m_2\right)= \int_0^{\infty} \frac{x^{k_1}}{\left(x^{n_1} + a_1 \right)^{m_1}} \cdot \frac{x^{k_2}}{\left(x^{n_2} + a_2 \right)^{m_2}}\:dx \end{equation}
Donde $a_1, a_2,n_1,n_2,k_1,k_2,m_1,m_2 \in \mathbb{R}^{+}$
Por desgracia estoy atascado con esto y estoy interesado en saber si alguien ha encontrado este formulario antes y si es así, si saben de un método para encontrar una solución se expresa en términos de primaria o no-funciones elementales.
Un punto de partida sería muy apreciada.
También, si la solución se puede representar con ciertas restricciones sobre los parámetros, por favor post. El único absoluto que condiciones se $a_{1},a_{2},m_{1},m_{2} \gt 0$. Interesado en todas las soluciones restringidas o no.
Editar - Solo de pensar ahora que la única cosa que se puede hacer para simplificar la integral es dejar a $u = x^{n_1}$ o $u = x^{n_2}$. Aquí voy a utilizar la tarde para rendir la integral como
\begin{align} &H\left(a_1, a_2,n_1,n_2,k_1,k_2,m_1,m_2\right)= \int_0^{\infty} \frac{\left( u^{\frac{1}{n_2}}\right)^{k_1}}{\left(\left( u^{\frac{1}{n_2}}\right)^{n_1} + a_1 \right)^{m_1}} \cdot \frac{\left( u^{\frac{1}{n_2}}\right)^{k_2}}{\left(u + a_2 \right)^{m_2}}\frac{1}{n_2}u^{\frac{1 - n_2}{n_2}}\:du\\ \quad& = \frac{1}{n_2}\int_0^{\infty} \frac{u^{\frac{k_1 + k_2 + 1 - n_2}{n_2}}}{\left( u^{\frac{n_1}{n_2}} + a_1 \right)^{m_1}} \frac{1}{\left(u + a_2\right)^{m_1}}\:du = \frac{1}{n_2}\int_0^{\infty} \frac{u^{k_3}}{\left(u^{n_3} + a_1\right)^{m_1}} \frac{1}{\left(u + a_2\right)^{m_2}}\:du \end{align}