Un problema de factorizar un polinomio con una pista.

Question

PT $(x-a_{1})(x-a_{2})..(x-a_{n})+1$ no puede ser factorizado en dos pequeños polinomio $P(x)$ e $Q(x)$ con coeficientes enteros, donde $a_{i}$'s son todos diferentes números enteros.

Este problema puede ser resuelto mediante la consideración de la raíz de la ecuación ( $P(x)Q(x)-1=0$

Este problema viene de Terry Tao del libro de Resolución de problemas matemáticos(página 47), en el cual le da un toque como

si P(x) y Q(x) son factores entonces, ¿qué puedes decir acerca de $P(x)-Q(x)$

¿Cómo se soluciona este problema esta sugerencia?

Editar: Esto no parece ser cierto, como se ha señalado por Darji y Eric. Para el lector interesado, El problema real se puede encontrar aquí, en la página 47 Ejercicio 3.7

Answer 1

Observe que $P(a_i)Q(a_i)=1$ para todos los $i$. Pero desde $P$ e $Q$ han entero de los coeficientes y de la $a_i$ son números enteros, esto significa $P(a_i)=Q(a_i)=1$ o $P(a_i)=Q(a_i)=-1$ por cada $i$. En particular, $a_i$ es una raíz de $P-Q$ por cada $i$, lo $P-Q$ es $0$ o tiene un grado mínimo de $n$.

Pero, puesto que el $\deg(PQ)=n$, la única manera de $P-Q$ puede tener grado mínimo de $n$ es que si uno de $P$ e $Q$ tiene el grado $n$ y el otro es una constante. Presumiblemente, esta posibilidad está destinado a ser excluidos por el requisito de que $P$ e $Q$ son "pequeños" polinomios.

La única posibilidad es que $P-Q=0$, lo $P=Q$. Esta realidad es posible, por ejemplo, como darij grinberg comentó, usted podría tener $n=2$, $a_1=1$, e $a_2=-1$ y, entonces, el polinomio es $(x-1)(x+1)+1=x^2$ y así podemos tener $P(x)=Q(x)=x$. Otro ejemplo (con $n=4$) $$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1=(x^2-5x+5)^2.$$ Así, el enunciado del problema no es totalmente correcta, sin adicionales de asunción para descartar este caso.