Aproximación de la onda rotatoria y oscilaciones Rabi clásicas: ¿por qué los términos oscilantes rápidos no parecen despreciables en el marco inicial?

Question

Estoy tratando de entender mejor la aproximación de la onda rotatoria (RWA).

Considere un átomo modelado como un sistema de dos niveles, interactuando con un Láser. Tengo el operador de momento dipolar $$\vec{D} = d \left( \vec{\epsilon_d} \sigma_{-} + \vec{\epsilon_d}^{*} \sigma_{+}\right) \, .$$

El campo eléctrico es $$\vec{E} = E_0 \left( \vec{\epsilon} e^{j(\omega_L t + \phi_L)} + \vec{\epsilon}^{*} e^{-j(\omega_L t + \phi_L)} \right) \, .$$

Tenemos el Hamiltoniano de nuestro sistema $$H=\frac{\hbar \omega_q}{2} \sigma_z - \vec{D} \cdot \vec{E}$$ donde $\hbar \omega_q$ es la energía desnuda de nuestro sistema de dos niveles.

Después de algunos cálculos, podemos escribirlo como \begin{align} H &= \frac{\hbar \omega_L}{2}\sigma_z + \frac{\hbar (\omega_q - \omega_L)}{2}\sigma_z \\ &- dE_0 (\vec{\epsilon_d} \cdot \vec{\epsilon} e^{j(\omega_L t + \phi_L)} \sigma_{-} + \vec{\epsilon_d} \cdot \vec{\epsilon}^{*}e^{-j(\omega_L t + \phi_L)} \sigma_{-} \\ &+ \vec{\epsilon_d}^{*} \cdot \vec{\epsilon}e^{j(\omega_L t + \phi_L)} \sigma_{+} + \vec{\epsilon_d}^{*} \cdot \vec{\epsilon}^{*}e^{-j(\omega_L t + \phi_L)} \sigma_{+}) \, . \end{align}

El truco habitual para mostrar la aproximación de la RWA es ir en la foto de interacción tomando $\frac{\hbar \omega_L}{2}\sigma_z$ como la parte que no interactúa. Haciendo esto, terminamos con \begin{align} H^I &= \frac{\hbar (\omega_q - \omega_L)}{2}\sigma_z \\ &-dE_0 (\vec{\epsilon_d} \cdot \vec{\epsilon}e^{j(\phi_L)} \sigma_{-} + \vec{\epsilon_d} \cdot \vec{\epsilon}^{*}e^{-j(2*\omega_L t + \phi_L)} \sigma_{-}\\ &+ \vec{\epsilon_d}^{*} \cdot \vec{\epsilon}e^{j(2*\omega_L t + \phi_L)} \sigma_{+} + \vec{\epsilon_d}^{*} \cdot \vec{\epsilon}^{*}e^{-j(\phi_L)} \sigma_{+}) \end{align}

Y en este punto decimos que despreciaremos el término oscilante rápido.

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Aquí, tuvimos que ir a la imagen de interacción para ver lo que podíamos descuidar. ¿No es posible verlo directamente en el primer Hamiltoniano $H$ ?

La aproximación R.W.A equivale a despreciar directamente los términos $$\vec{\epsilon_d} \cdot \vec{\epsilon}^{*}e^{-j(\omega_L t + \phi_L)} \sigma_{-} $$ y $$\vec{\epsilon_d}^{*} \cdot \vec{\epsilon}e^{j(\omega_L t + \phi_L)} \sigma_{+}$$ en el primer hamiltoniano $H$ .

Sin embargo, son exactamente del mismo orden que los otros dos que no se van a descuidar. Así que estoy un poco confundido.

¿Existe un argumento directo antes de usar el truco de la imagen de interacción para ver por qué descuidamos esos términos?

Answer 1

Elija una base tal que el Hamiltoniano no interactuante sea diagonal con eigenenergías $E_i$ . Escribe tu Hamiltoniano de interacción en forma de matriz. Luego tome un término de $H_{ij}$ (i - fila, j - columna) que tiene una dependencia temporal $H_{ij} \sim e^{i\omega t}$ . La dependencia temporal de la imagen de interacción será entonces $e^{i (\omega + E_i - E_j)t}$ . Así que se mantiene este término si $\omega + E_i - E_j \approx 0$ . En particular, los términos diagonales sobreviven si $\omega \approx 0$ .

En caso de que esté interesado en saber por qué funciona:

Para un hamiltoniano perturbado $H = H_0 + V(t)$ definimos el cuadro de interacción como $|\psi_I\rangle = e^{iH_0t} |\psi(t)\rangle$ . Esto significa "básicamente" que nos transformamos en el "marco móvil" de la función de onda no perturbada. Especialmente si $V(t)$ es pequeño, entonces $|\psi_I\rangle$ sólo cambiará poco con el tiempo.

Definiendo el hamiltoniano de interacción como $H_I = e^{iH_0t}V(t)e^{-iH_0t}$ se puede reescribir la ecuación de Schrödinger como $i\partial_t |\psi_I\rangle = H_I|\psi_I\rangle$ . Esta ecuación se puede integrar en el tiempo para conseguir:

$$|\psi_I(t)\rangle = |\psi_I(0)\rangle - i \int_0^t \mathrm{d}t' V_I(t')|\psi_I(t')\rangle$$ Esta ecuación no se puede resolver en general. Sin embargo, sabemos dos cosas más: 1. La función de onda seguirá estando dominada por la parte no perturbada, que es independiente del tiempo. Así que podemos tratar la función de onda como si variara lentamente con el tiempo. 2. El potencial de interacción puede dividirse en una parte que oscila rápidamente y otra que oscila lentamente (en tu caso la parte que oscila lentamente es independiente del tiempo)

Combinando estos dos vemos que para escalas de tiempo medias $t \gg 1/\omega_{\text{fast}}$ la integral de tiempo $\int_0^t \mathrm{d}t' V_I(t')|\psi_I(t')\rangle$ simplemente "matará" todas las partes oscilantes rápidas de $V_I$ dejando sólo las partes de oscilación lenta. Por lo tanto, para los tiempos medios se puede simplemente dejar de lado todas las partes oscilantes rápidas del Hamiltoniano de interacción. Esto es lo que se llama el R.W.A.