Estoy dado a la familia $(X, Y)$ de variables aleatorias con la combinación de la densidad:
$$f^{X, Y}(x, y) := 2 \cdot e^{-(x+2y)} \cdot 1_{[0,\infty)}(x) \cdot 1_{[0, \infty)}(y)$$
y estoy obligado a calcular $P(X > Y)$. Ya he calculado la densidad marginal $f^X, f^Y$ y se estableció que la $X$ e $Y$ son independientes, pero no el uso de esta información, pero calcula:
$$\int_{\{(x, y)\,\in\,\mathbb{R}^2 : x\,>\,y\}} f^{X, Y}(x,y) \,d(x,y) \\ = \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} 2\cdot e^{-(x+2y)} \cdot 1_{[0, \infty)}(x) \cdot 1_{[0, x)}(y) \,dy\,dx \\= \int_\mathbb{R} 1_{[0, \infty)}(x) \int_0^x 2e^{-(x+2y)} dy\,dx \\= \int_0^\infty e^{-x} - e^{-3x}dx = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
Es este enfoque correcto? ¿Es necesario cambiar el $x$ en la segunda igualdad de (ya que es parte de los límites), o bien, desde que me integrados $dy$? Puede que este problema se resuelve más rápido el uso de $f^X, f^Y$ y la independencia?
