¿Es un conjunto denso siempre infinito?

Question

Al aprender sobre conjuntos densos el ejemplo clásico es el de $\mathbb Q$ los racionales, en $\mathbb R$ . La misma interpretación es válida para los irracionales en $\mathbb R$ . Me preguntaba si un conjunto denso tiene que ser infinito, porque esto es lo que sugiere la intuición. Además, ¿los conjuntos densos son siempre contablemente infinitos?

Answer 1

Para responder a la pregunta general de "¿son siempre infinitos los conjuntos densos?": no, porque ciertamente, si $X$ es un espacio topológico finito, entonces $X$ es denso en sí mismo.

Para otro ejemplo, si $X$ es cualquier conjunto con topología indiscreta, entonces todo subconjunto no vacío de $X$ es denso.

Para otro ejemplo, dejemos que $X = \mathbb{R}$ con la topología determinada por el operador de cierre de Kuratowski $$\operatorname{cl}(S) = \begin{cases} S, & 0 \notin S; \\ \mathbb{R}, & 0 \in S.\end{cases}$$ Entonces $\{ 0 \}$ es denso en $X$ Sin embargo $X$ es $T_0$ . (De hecho, este ejemplo puede modificarse fácilmente para dar un $T_0$ espacio topológico de cualquier cardinalidad deseada tal que algún punto sea denso).

Por otro lado, en un $T_1$ espacio topológico, todo subconjunto finito es cerrado. Así, si un subconjunto finito de un $T_1$ espacio topológico $X$ es denso, entonces $X$ debe ser finito. O, para el contrapositivo, si $X$ es un infinito $T_1$ espacio topológico, entonces todo subconjunto denso de $X$ es infinito.

Answer 2

Un conjunto denso de los reales es siempre infinito. No es necesario que sea contable: Por ejemplo, los reales son densos en sí mismos.

Y un conjunto denso tampoco tiene por qué ser infinito. Por ejemplo, $\{1\}$ es un conjunto finito que es denso en sí mismo.

Answer 3

Ciertamente un conjunto denso en la línea real debe ser infinito: si $X$ es un subconjunto finito de la recta real, tiene algún elemento máximo $m$ . Entonces no tiene sentido $X$ está cerca de $m+1$ (por lo demás $m$ no es el máximo, contradicción). Así que $X$ no puede ser denso.

Por otro lado, mencionas que los números irracionales también son densos, pero éstos ya son incontables, así que no hay razón para pensar que un conjunto denso deba ser contable. (De hecho, lo más importante es si existe un conjunto denso contable. Esto se llama separabilidad; véase https://en.m.wikipedia.org/wiki/Separable_space ).

Answer 4

Todo subconjunto denso de $\mathbb R$ es infinito. Un conjunto finito tiene un máximo, por lo que claramente no puede ser denso. Los subconjuntos densos de $\mathbb R$ no tiene por qué ser contable; por ejemplo, los números irracionales y el conjunto $\mathbb R$ son incontables y densos.

Answer 5

En un espacio métrico infinito cualquier conjunto denso debe ser también infinito: todos los conjuntos finitos son cerrados y, por tanto, su cierre (el mismo conjunto finito) no puede ser igual a todo el espacio. Un conjunto denso es todo el espacio, por lo que no necesita ser contable, a menos que todo el espacio lo sea.