¿Es un conjunto conexo siempre un conjunto incontablemente infinito?

Question

Estoy tratando de entender el concepto de conjunto conexo. El ejemplo clásico que se presenta es el de $\Bbb R$ o cualquier intervalo de $\Bbb R$ con la topología habitual.
Además, he oído que, hasta cierto punto, los conjuntos conexos pueden considerarse opuestos a los conjuntos discretos. A veces se indica que representan la idea de un continuo. Entonces, intuitivamente, ¿no deberían ser siempre conjuntos incontables?

Answer 1

En primer lugar, $\emptyset$ está conectado. Y también lo están todos los singleton.

Por otro lado, es cierto que cada conexión métrica El espacio con más de un punto es incontable. Pero hay espacios contables conectados topológico espacios.

Answer 2

Considere el espacio $X = \{a, b\}$ equipado con la topología trivial (es decir, los únicos conjuntos abiertos son $X$ y $\varnothing$ ). Entonces, el espacio está conectado, pero sólo hay un número finito de puntos en este ejemplo.

Answer 3

Bueno, está el conjunto vacío, como otros han señalado. Además, todo singleton está conectado. Pero se puede decir un poco más si se asume una cierta separación.

• Cualquier finito $T_1$ El espacio es discreto, por lo que es conexo si y sólo si tiene un solo punto, por lo que si se asume $T_1$ no hay ninguna conexión no trivial finito conjuntos o espacios.
• También hay conectados $T_0$ espacios de cualquier tamaño que se quiera (incluso cualquier finito): si se toma un conjunto no vacío $X$ y arreglar $x\in X$ entonces si se declara que los conjuntos abiertos son exactamente aquellos que contienen $x$ entonces la topología resultante es $T_0$ y conectado (todos los puntos excepto $x$ están cerradas).
• En cualquier conjunto infinito (posiblemente contable), la topología cofinita es $T_1$ y conectado.
• Hay espacios de Hausdorff contablemente infinitos conectados. (e incluso $T_{2\frac{1}{2}}$ -espacios).
• Una conexión $T_4$ El espacio con más de un punto es necesariamente incontable. Esto se deduce fácilmente del lema de Urysohn (de hecho, se deduce que un espacio conectado no trivial $T_4$ espacio tiene al menos la cardinalidad del continuo).
• Se puede demostrar que un contable $T_3$ el espacio es $T_4$ por lo que, según el punto anterior, una conexión $T_3$ el espacio no puede ser contablemente infinito.

Por cierto, en topología, un continuo es un tipo de conjunto conexo (es decir, uno que es compacto Hausdorff, o incluso metrisable, según el autor).