Lema de Poincaré generalizada

Question

Estoy leyendo la prueba de una versión mejorada de Poincaré del Lexema en Ana Cannas da Silva, Conferencias sobre la Geometría Simpléctica, página 40. Estoy terriblemente confundido. Esta es la configuración: $U_0$ es un tubular barrio de la sección cero de la normal bundle $NX$ de un submanifold $X\subseteq M$. Ella define la $\rho_t\colon U_0 \to U_0$ por $\rho_t(x,v) = (x,tv)$, $0 \leq t \leq 1$, y luego tenemos un homotopy operador $$Q\omega = \int_0^1 \rho_t^*(\iota_{v_t}\omega)\,{\rm d}t,$$ where $v_t$ is, at the point $\rho_t(x,v)$, the vector tangent to the curve $\rho_s(x,v)$ at $s=t$.

Esto no es correcto para mí en $t=0$. Si $t \neq 0$, a continuación, $\rho_t$ es un diffeomorphism con $\rho_t^{-1} = \rho_{1/t}$, ya que contamos con $v_t(x,v) = (x, v/t)$, y este no tiene ninguna extensión para $t=0$. De hecho, $\rho_0(x,v) = (x,0)$ es sólo una inmersión. Pero ella dice que si $x \in X$, a continuación, $v_t(x,0) = 0$ porque $\rho_t(x,0) = (x,0)$ es una constante de la curva, que estoy de acuerdo. Pero $v_0$ no parece ser definido lejos de $X$, ya que se habría en general $$v_t(x,v) = \frac{{\rm d}}{{\rm d}s}\bigg|_{s=t} \rho_s\rho_{t}^{-1}(x,v),$$ and so $\rho_t$ necesita a tiene un inverso. E incluso si se considera la integral anterior como una integral impropia, ¿por qué debería converger?

Así:

¿Cómo puede la prueba de ir en la si $v_t$ no es continua? Cómo dar un sentido integral, como lo que sucede cerca de $0$ es exactamente lo que nos interesa?

Answer 1

En primer lugar, un pequeño punto: ninguno de los $\rho_t$ con $t < 1$ necesitan ser diffeomorphisms. El problema es que todos sabemos acerca de $U_0$ es que es convexo. Por lo tanto, si $(x,v)\in U_0$ e $t\leq 1$, a continuación, $(x,tv)\in U_0$, pero no hay ninguna razón por la que $(x,v/t)\in U_0$. En particular, no hay ninguna razón $\rho_t$ debe ser surjective para $t<1$.

Ahora, un punto más importante. Yo creo que simplemente tenemos $v_t(x,v) = v$. Creer en esto por un momento, todo lo haría perfecto sentido en la sección cero (donde $v=0$).

Así que, ¿por qué es $v_t(x,v) = v$? Bien, es por definición $$\begin{align*} x_t(x,v) &= \frac{d}{ds}|_{s=t} \rho_s(x,v)\\ &= \frac{d}{ds}|_{s=t} (x,sv)\\ &= (x,v),\end{align*}$$ donde es la última línea de la siguiente manera simplemente haciendo notar que la curva se encuentra en su totalidad dentro de una fibra de un vector paquete -, que se puede calcular como si estamos en un espacio vectorial.

Answer 2

Si dejamos $\sigma_t= \rho_t^*(\iota_{v_t}\omega)$, luego $$\sigma_t((x,v);u)=\omega(\rho_t(x,v); (0,v), d\rho_t(x,v)u),$$ por lo tanto $\sigma_t$ es suave en cero. Y esto es lo que importa, no $v_t$. Este problema se alude en McDuff del libro.

Una cosa a tener en cuenta es que el objetivo principal de este "baile" es tener el formulario a ser cero en la submanifold. Si esto no era necesario, a continuación, el resultado de que Ana Cannas demuestra en que la página es trivial a partir de homotopy invariancia solo, o esencialmente sólo para probar de nuevo.