Estoy leyendo la prueba de una versión mejorada de Poincaré del Lexema en Ana Cannas da Silva, Conferencias sobre la Geometría Simpléctica, página 40. Estoy terriblemente confundido. Esta es la configuración: $U_0$ es un tubular barrio de la sección cero de la normal bundle $NX$ de un submanifold $X\subseteq M$. Ella define la $\rho_t\colon U_0 \to U_0$ por $\rho_t(x,v) = (x,tv)$, $0 \leq t \leq 1$, y luego tenemos un homotopy operador $$Q\omega = \int_0^1 \rho_t^*(\iota_{v_t}\omega)\,{\rm d}t,$$where $v_t$ is, at the point $\rho_t(x,v)$, the vector tangent to the curve $\rho_s(x,v)$ at $s=t$.
Esto no es correcto para mí en $t=0$. Si $t \neq 0$, a continuación, $\rho_t$ es un diffeomorphism con $\rho_t^{-1} = \rho_{1/t}$, ya que contamos con $v_t(x,v) = (x, v/t)$, y este no tiene ninguna extensión para $t=0$. De hecho, $\rho_0(x,v) = (x,0)$ es sólo una inmersión. Pero ella dice que si $x \in X$, a continuación, $v_t(x,0) = 0$ porque $\rho_t(x,0) = (x,0)$ es una constante de la curva, que estoy de acuerdo. Pero $v_0$ no parece ser definido lejos de $X$, ya que se habría en general $$v_t(x,v) = \frac{{\rm d}}{{\rm d}s}\bigg|_{s=t} \rho_s\rho_{t}^{-1}(x,v),$$and so $\rho_t$ necesita a tiene un inverso. E incluso si se considera la integral anterior como una integral impropia, ¿por qué debería converger?
Así:
¿Cómo puede la prueba de ir en la si $v_t$ no es continua? Cómo dar un sentido integral, como lo que sucede cerca de $0$ es exactamente lo que nos interesa?