potencias enésimas módulo de todos los primos

Question

Dejemos que $a \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}^*$ sean números enteros, y se establezca $P=X^n - a$ . Consideremos las tres afirmaciones siguientes:

1) $P$ tiene una raíz en $\mathbb{Z}$ (es decir $a$ es una enésima potencia)

2) $P$ tiene una raíz en $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ para todos $d \ge 1$ (es decir $a$ es una enésima potencia mod $d$ para todos $d$ )

3) $P$ tiene una raíz en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para todos los primos $p$ (es decir $a$ es una enésima potencia mod $p$ para todos los primos $p$ )

Me gustaría demostrar que son equivalentes, pero todavía no puedo demostrar $3 \Rightarrow 1$ .

Esto es lo que ya sé:

• Obviamente tenemos $1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3$

• Prueba $2 \Rightarrow 1$ no es muy difícil ( $2 \Rightarrow$ todo $p$ -las valoraciones de a son múltiplos de $n$ )

• Creo que puedo probar $3 \Rightarrow 1$ en el caso $n = 2$ . Pero mi prueba parece bastante complicada (y francamente un poco exagerada) para esta cuestión : A grandes rasgos, si $a$ no es un cuadrado, utilizo la ley de reciprocidad cuadrática y el teorema de Dirichlet para demostrar que existe un primo $p$ para el que el símbolo de Legendre de $a$ mod $p$ es $-1$ .

Así que supongo que mis preguntas son : ¿Podemos probar $3 \Rightarrow 1$ ? ¿Existe una prueba "elemental"? Gracias de antemano por cualquier comentario o respuesta.

Answer 1

Además, el ejemplo más sencillo de un polinomio irreducible sobre $\mathbb Q$ pero reducible modulo cada primo es el favorito tradicional, $x^4+1$ .

Edición: como se ha sugerido en un comentario (¡gracias! @Pierre-Yves G.), una prueba de esto empieza por observar que $x^4+1$ es el octavo polinomio ciclotómico. Como $\mathbb F_{p^2}^\times$ es cíclico habrá una raíz 8ª de la unidad en $\mathbb F_{p^2}$ exactamente cuando $8|p^2-1$ lo que significaría que $x^4+1$ factores en el peor de los casos cuadrático factores sobre $\mathbb F_p$ . Desde $\mathbb Z/8^\times$ es un grupo 2,2, $p^2=1$ mod $8$ para cada impar prime $p$ . ( $x^4+1=(x+1)^2$ en $p=2$ .)

Answer 2

Estas afirmaciones no son equivalentes. Afirmo que 3), pero no 1) ni 2), se cumplen para el polinomio $x^8 - 16$ (véase el artículo de Wikipedia sobre el Teorema de Grunwald-Wang ). El hecho de que 1) no se cumpla es obvio. Obsérvese que $16$ es una octava potencia en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ pero no en $\mathbb{Z}/32\mathbb{Z}$ por lo que 2) no se cumple. Factorizar el polinomio como

$$(x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2).$$

Para cualquier primo impar $p$ Tampoco es difícil ver eso $2, -2$ o $-1$ es un residuo cuadrático $\bmod p$ . Dependiendo de cuál de ellos sea un residuo cuadrático, uno de los fadores cuadráticos anteriores se divide. Por tanto, $x^8 - 16$ tiene una raíz $\bmod p$ para todos los primos Impares $p$ y 3) se mantiene.

Editar: No obstante, el resultado es positivo.

Propuesta: Dejemos que $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sea un monico irreducible polinomio de grado $n > 1$ . Entonces existe un primo $p$ tal que $P(x)$ no tiene raíces $\bmod p$ .

Prueba. Dado un primo $p$ sin dividir el discriminante de $P$ Consideremos la acción del mapa de Frobenius $x \mapsto x^p$ en las raíces de $P(x)$ en $\overline{ \mathbb{F}_p }$ . Cualquier órbita de esta acción da un factor irreducible de $P(x)$ y a la inversa: de ahí que el tipo de ciclo del mapa de Frobenius determine la factorización de $P(x)$ en factores irreducibles $\bmod p$ . Ahora bien, se sabe (véase el artículo de Wikipedia ) que cualquier tipo de ciclo de un mapa de Frobenius coincide con el tipo de ciclo de algún elemento del grupo de Galois $G$ de $P$ . A la inversa, si el grupo de Galois $G$ tiene un elemento de un tipo de ciclo particular, hay un primo $p$ tal que el elemento de Frobenius en $p$ tiene ese tipo de ciclo por el Teorema de la densidad de Frobenius .

Así que queda por demostrar que $G$ tiene un elemento sin puntos fijos. Como $P$ es irreducible, $G$ actúa transitoriamente sobre sus raíces. Por El lema de Burnside se deduce que

$$ \sum_{g \in G} |\text{Fix}(g)| = |G|.$$

Pero el elemento de identidad tiene $n > 1$ puntos fijos, por lo que debe ser el caso que $|\text{Fix}(g)| = 0$ para algunos $g$ o bien el LHS sería al menos $(n-1) + |G|$ .

El resultado es que la equivalencia entre 2) y 3) se mantiene siempre que $x^n - a$ sería irreducible si $a$ no eran un $n^{th}$ poder, que se mantiene (por ejemplo) cuando $n = 2, 3$ .

Tenga en cuenta que no es cierto que $P(x)$ sigue siendo irreducible módulo algún primo: esto equivale a la afirmación de que el grupo de Galois contiene un $n$ -ciclo, que siempre es cierto cuando $n = 2, 3$ y falso en general para valores más altos de $n$ . Sin embargo, es cierto que para un genérico en el sentido de que el polinomio genérico de grado $n$ tiene grupo de Galois $S_n$ .